Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Lấy  điểm N  trên cạnh AC sao cho AN = 2NC, K là giao của MN VÀ AB

Để chứng minh rằng B là trung điểm của AK trong tam giác \( \Delta ABC \) với M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2NC, và K là giao điểm của MN và AB, ta sẽ tiến hành qua các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c, h) \).
- Tọa độ của trung điểm M là \( M\left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right) \).

2. **Xác định điểm N trên cạnh AC**:
- Gọi tọa độ điểm N là \( N(2x, 2y) \) với x, y sẽ được xác định thông qua điểm C.
- Vì AN = 2NC, ta có \( AC = AN + NC = 3NC \), tức là NC = \(\frac{AC}{3}\).

3. **Xác định phương trình đường thẳng MN**:
- Đường thẳng MN có thể được xác định từ tọa độ M và N.

4. **Xác định phương trình đường thẳng AB**:
- Đường thẳng AB có thể xác định dựa trên tọa độ A và B.

5. **Tìm giao điểm K của MN và AB**:
- Giải hệ phương trình của hai đường thẳng MN và AB để tìm tọa độ điểm K.

6. **Chứng minh B là trung điểm của AK**:
- Sau khi tìm được tọa độ K, ta sẽ kiểm tra tọa độ trung điểm của đoạn AK và so sánh với tọa độ điểm B.
- Tọa độ trung điểm của AK sẽ là \( \left( \frac{x_A + x_K}{2}, \frac{y_A + y_K}{2} \right) \) và cần chứng minh rằng tọa độ này bằng với tọa độ B.

Bằng cách sử dụng hệ thức về tỷ lệ, tọa độ và các bước xác định như trên, ta có thể đưa ra thông số cụ thể để tìm ra nghiệm cuối cùng về mối quan hệ giữa B, A, K.

Quá trình trên là minh họa cho phương pháp và có thể được thực hiện cụ thể tùy theo các giá trị được cho trong bài toán.