Để phân tích đa thức \( P(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16 \) thành nhân tử, ta sẽ bắt đầu với việc xác định giá trị của đa thức \( (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) \).

### Bước 1: Xác định các đỉnh
Đa thức \( (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) \) là một đa thức bậc 4 có các nghiệm \( x = 2, 4, 6, 8 \). Đặc biệt, tại các điểm này, giá trị của đa thức bằng 0.

### Bước 2: Xem xét giá trị của \( P(x) \)
Khi tính \( P(x) \):
- Tại các điểm \( x = 2, 4, 6, 8 \), ta đều có:

\[
P(2) = 0 + 16 = 16,
\]
\[
P(4) = 0 + 16 = 16,
\]
\[
P(6) = 0 + 16 = 16,
\]
\[
P(8) = 0 + 16 = 16.
\]

### Bước 3: Tìm đa thức mới
Để phân tích \( P(x) \), ta có thể viết lại nó dưới dạng:

\[
P(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16 = Q(x) + 16,
\]
trong đó \( Q(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) \).

### Bước 4: Tính toán thêm
Chúng ta có thể thử bằng cách viết dạng tổng quát:

\[
P(x) = a(x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16,
\]

Đặt \( y = (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) \), ta tìm \( y + 16 \).

### Bước 5: Chuyển đổi
Tìm \( P(x) \) gần như tương đương với phương trình trục đối xứng hoặc các điểm cực của \( P(x) \).

Cuối cùng, ta có thể điều tra dạng tổng quát hơn hoặc thử các giá trị bất kỳ để tìm ra nghiệm tương tự:

\[
P(x) = (x - 5)^2 + 9
\]

Vậy ta có:

\[
P(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16 = (x - 5)^2 + 9.
\]

### Bước 6: Kết luận
Từ đây, kết quả cuối cùng giúp ta nhận thấy rằng:

\[
P(x) = (x - 5)^2 + 9,
\]

không thể phân tích thêm thành nhân tử hơn nữa trong thực số.

Do vậy, kết quả phân tích của đa thức \( P(x) \) là \( (x - 5)^2 + 9 \).