Để chứng minh định lý "Nếu \(x, y \in \mathbb{R}\) với \(x \neq -1\) và \(y \neq -1\) thì \(x + y + xy \neq -1\)" bằng phương pháp phản chứng, ta sẽ tiến hành như sau:

### Bước 1: Giả thiết

Giả sử ngược lại, tức là có tồn tại \(x, y \in \mathbb{R}\) sao cho \(x \neq -1\), \(y \neq -1\) và \(x + y + xy = -1\).

### Bước 2: Biến đổi phương trình

Từ giả thiết đó, ta có:

\[
x + y + xy = -1
\]

Ta có thể biến đổi phương trình thành:

\[
xy + x + y + 1 = 0
\]

Hoặc:

\[
xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1) = 0
\]

### Bước 3: Tìm các giá trị của \(x\) và \(y\)

Phương trình \((x + 1)(y + 1) = 0\) cho thấy rằng ít nhất một trong hai nhân tố phải bằng 0, tức là:

1. \(x + 1 = 0\) hay \(x = -1\)
2. \(y + 1 = 0\) hay \(y = -1\)

### Bước 4: Phản chứng

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng \(x \neq -1\) và \(y \neq -1\). Từ đó, ta kết luận rằng giả thiết \(x + y + xy = -1\) là sai.

### Kết luận

Do đó, ta có \(x + y + xy \neq -1\) khi \(x \neq -1\) và \(y \neq -1\). Điều này đã được chứng minh bằng phương pháp phản chứng.