Để phân tích đa thức \( P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 16 \) thành nhân tử, ta bắt đầu từ phần nhân với nhau:

1. Tính tích của các đa thức:
\[
(x+2)(x+8) = x^2 + 10x + 16
\]
\[
(x+4)(x+6) = x^2 + 10x + 24
\]
Bây giờ, chúng ta nhân hai kết quả này với nhau:
\[
P(x) = (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24)
\]
Gọi \( y = x^2 + 10x \), thì ta có:
\[
P(x) = (y + 16)(y + 24) = y^2 + 40y + 384
\]
Thay \( y \) trở lại:
\[
P(x) = (x^2 + 10x)^2 + 40(x^2 + 10x) + 384
\]

2. Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của \( P(x) \) thành dạng chuẩn.
\[
P(x) = (x^2 + 10x)^2 + 40(x^2 + 10x) + 384
\]
Đặt \( z = x^2 + 10x \):
\[
P(x) = z^2 + 40z + 384
\]
Để phân tích này thành nhân tử, ta cần tìm nghiệm của đa thức bậc hai này. Áp dụng công thức nghiệm:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1, b = 40, c = 384 \):
\[
b^2 - 4ac = 1600 - 1536 = 64 \quad \text{(có nghiệm)}
\]
Thay vào formula:
\[
z = \frac{-40 \pm 8}{2}
\]
Từ đây:
\[
z_1 = -16, \quad z_2 = -24
\]

3. Đặt lại vào công thức gốc:
\[
P(x) = (z + 16)(z + 24)
\]
Thay \( z = x^2 + 10x \) vào, ta có:
\[
P(x) = (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24)
\]

Như vậy, đa thức ban đầu có thể được phân tích thành nhân tử như sau:
\[
P(x) = (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24)
\]

Đây là dạng phân tích đơn giản của đa thức đã đưa ra.