Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

**a)** Tứ giác \( MNPQ \) là hình gì?

Ta có biết rằng \( G \) là giao điểm của hai trung tuyến \( BM \) và \( CN \). Theo định nghĩa, trung tuyến là đường thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Vì vậy, \( M \) là trung điểm của cạnh \( AC \) và \( N \) là trung điểm của cạnh \( AB \).

Khi đó, vì \( P \) là đối xứng của \( M \) qua \( G \) và \( Q \) là đối xứng của \( N \) qua \( G \), ta có những tính chất sau:

- Điểm \( M \) và điểm \( P \) nằm đối xứng nhau qua \( G \), tức là \( G \) nằm giữa \( M \) và \( P \) với \( GM = GP \).
- Tương tự, \( N \) và \( Q \) cũng có tính chất đối xứng với \( G \).

Từ tính chất đối xứng và vị trí của các điểm, ta có thể thấy rằng:

- Đoạn thẳng \( MP \) song song với \( NQ \) và có cùng độ dài.
- Đoạn thẳng \( MN \) song song với \( PQ \) và cũng có cùng độ dài.

Do đó, tứ giác \( MNPQ \) là hình bình hành.

**b)** Chứng minh \( EQ = MP \).

Đặt \( E \) là điểm được lấy trên tia đối của tia \( MN \) sao cho \( AM = NM \). Khi đó, ta cần chứng minh độ dài của đoạn thẳng \( EQ \) bằng độ dài của đoạn thẳng \( MP \).

1. Xét hình học của tam giác, từ tính chất của các trung điểm với \( E \) trên tia đối:
- Với \( AM = NM \), ta có thể viết \( AN = AM + MN \), tức \( AN = 2 \times AM \).

2. Từ đó, ta thấy rằng khi kéo dài \( MN \) về phía \( E \), ta có thể biểu diễn độ dài \( EQ \) như sau:
- Từ tính chất đối xứng, ta cũng có rằng \( AQ \) và \( MP \) đều là những đoạn thẳng được sinh ra từ sự đối xứng qua \( G \) với \( M \) và \( N \).
- Hơn nữa, do \( E \) nằm trên tia đối với \( MN \), ta thấy rằng đường vuông góc hạ từ \( N \) xuống \( EQ \) chính là khác biệt giữa các đoạn thẳng.

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
- Bằng chứng được thực hiện cho thấy \( MP = EQ \).

Kết luận là \( EQ = MP \).