Để chứng minh \( AOM = BON \), ta làm theo các bước sau:

**a)** Chứng minh \( AOM = BON \).

1. **Gọi các góc:**
- Gọi góc \( AOB \) là góc tù (tức là góc lớn hơn \( 90^\circ \)).
- Tia \( OM \) vuông góc với \( OB \) và tia \( ON \) vuông góc với \( OA \).

2. **Sử dụng tính chất của góc vuông:**
- Vì \( OM \perp OB \), có thể nói rằng \( \angle OMB = 90^\circ \).
- Tương tự, vì \( ON \perp OA \), nên có \( \angle ONA = 90^\circ \).

3. **Tính tổng:**
- Ta có \( \angle AOB = \angle AOM + \angle OMB \).
- Cũng giống như vậy, \( \angle AOB = \angle BON + \angle ONA \).

4. **So sánh các góc:**
- Từ việc cộng các hình trên \( \angle OMB \) và \( \angle ONA \), ta có:
\[
\angle AOM + 90^\circ = \angle BON + 90^\circ
\]

5. **Kết luận:**
- Vì cả hai đoạn đều có thể được trừ đi \( 90^\circ \), nên ta có:
\[
\angle AOM = \angle BON
\]
- Do đó, \( AOM = BON \).

**b)** Vẽ tia \( O_x \) và \( O_y \) theo thứ tự là tia phân giác của các góc \( AOM \) và \( BON \).

1. **Tính chất tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( AOM \) sẽ chia góc này thành hai góc bằng nhau. Tương tự cho góc \( BON \).
- Gọi \( O_x \) là tia phân giác của \( AOM \) và \( O_y \) là tia phân giác của \( BON \).

2. **Chứng minh \( O_x \perp O_y \):**
- Vì các góc \( AOM \) và \( BON \) bằng nhau và cùng phụ thuộc trực tiếp vào góc \( AOB \) (tù), nên tia \( O_x \) và \( O_y \) sẽ vuông góc với nhau.
- Điều này dẫn đến \( O_x \perp O_y \).

Qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.