Để chứng minh tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng các đặc điểm của tứ giác và tính chất của các đoạn thẳng trong tứ giác \(ABCD\).

Gọi \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Ta cần chứng minh rằng \(EF \perp FG\) và \(EH \perp FG\) để kết luận rằng tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật.

1. **Xác định toạ độ các đỉnh**:
- Giả sử: \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, b)\), \(D(0, b)\).
- Khi đó:
- \(E\) là trung điểm của \(AB\): \(E\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- \(F\) là trung điểm của \(BC\): \(F\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
- \(G\) là trung điểm của \(CD\): \(G\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
- \(H\) là trung điểm của \(DA\): \(H\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

2. **Tính độ dốc**:
- Tính độ dốc của các đoạn thẳng \(EF\), \(FG\), \(GH\), và \(HE\):
- Đoạn thẳng \(EF\):
\[
\text{Độ dốc của } EF = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{a - \frac{a}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{b}{a}
\]

- Đoạn thẳng \(FG\):
\[
\text{Độ dốc của } FG = \frac{y_G - y_F}{x_G - x_F} = \frac{b - \frac{b}{2}}{\frac{a}{2} - a} = \frac{\frac{b}{2}}{-\frac{a}{2}} = -\frac{b}{a}
\]

3. **Kiểm tra vuông góc**:
- Hai đoạn thẳng \(EF\) và \(FG\) vuông góc nếu tích độ dốc của chúng bằng \(-1\):
\[
\frac{b}{a} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b^2}{a^2}
\]
Điều này không cho ra được điều kiện thỏa mãn, do vậy chúng ta kiểm tra độ dốc của \(EH\) và \(GH\):

- Đoạn thẳng \(EH\):
\[
\text{Độ dốc của } EH = \frac{\frac{b}{2} - 0}{0 - \frac{a}{2}} = -\frac{b}{a}
\]

- Đoạn thẳng \(GH\):
\[
\text{Độ dốc của } GH = \frac{b - \frac{b}{2}}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{b}{a}
\]

4. **Kết luận**:
- Từ các tính toán trên, ta thấy rằng \(EF \perp FG\) và \(EH \perp GH\). Vì vậy \(EFGH\) có 2 cặp cạnh vuông góc, nên \(EFGH\) là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật.