Cho các tập hợp A, B, C. Hãy chứng minh

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản của tập hợp. Dưới đây là các chứng minh cho từng phần:

### a) \( (A \cap B) \subset A, B \subset (A \cup B) \)

**Chứng minh:**
- Với mọi phần tử \( x \in (A \cap B) \), ta có \( x \in A \) và \( x \in B \). Do đó, \( (A \cap B) \subset A \).
- Với mọi phần tử \( y \in B \), ta có \( y \in B \), và lại vì \( B \subset (A \cup B) \) nên kéo theo \( y \in (A \cup B) \).
- Kết luận: \( (A \cap B) \subset A \) và \( B \subset (A \cup B) \) là đúng.

### b) \( (A \subset B) \land (B \subset C) \Rightarrow A \subset C \)

**Chứng minh:**
- Giả sử \( A \subset B \) và \( B \subset C \).
- Với mọi phần tử \( x \in A \), theo tính chất \( A \subset B \) thì \( x \in B \).
- Lại theo tính chất \( B \subset C \) thì suy ra \( x \in C \).
- Do đó, \( A \subset C \).

### c) \( A \subset B \) and \( C \subset A \Rightarrow C \subset B \)

**Chứng minh:**
- Giả sử \( A \subset B \) và \( C \subset A \).
- Với mọi phần tử \( y \in C \), theo tính chất \( C \subset A \) thì \( y \in A \).
- Lại theo tính chất \( A \subset B \) thì suy ra \( y \in B \).
- Do đó, \( C \subset B \).

### d) Nếu \( (A \cup B) \subset (A \cup C) \) và \( (A \cap B) \subset (A \cap C) \) thì \( B \subset C \)

**Chứng minh:**
- Giả sử rằng \( (A \cup B) \subset (A \cup C) \) và \( (A \cap B) \subset (A \cap C) \).
- Xét một phần tử \( x \in B \).
- Do \( A \cup B \subset A \cup C \) nên nếu \( x \in B \) thì \( x \) phải thuộc vào \( A \) (nếu không, \( x \) thuộc \( C \)).
- Nếu \( x \notin A \) thì \( x \in C \) (theo \( A \cup C \)). Nếu \( x \in A \), để có thể những phần tử thuộc \( A \cap B \) thì chúng cũng thuộc vào \( A \cap C \). Điều này cho thấy nếu \( x \in B \) thì \( x \) phải thuộc \( C \).
- Do đó, có thể kết luận rằng \( B \subset C \).

Vậy chúng ta đã chứng minh xong các mệnh đề trong bài toán.