Để tính giá trị của \( A = 3 + 3^2 + \ldots + 3^{100} \), chúng ta có thể nhận thấy đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \( a = 3 \), công bội là \( q = 3 \) và số hạng thứ \( n = 100 \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Áp dụng vào bài toán này với \( n = 100 \):

\[
A = 3 \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{100} - 1}{2} = \frac{3^{101} - 3}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4. Để làm điều này, hãy tính \( \frac{3^{101} - 3}{2} \) modulo 4.

Trước tiên, ta tính \( 3^{101} \) modulo 4:

\[
3 \equiv -1 \mod 4 \implies 3^{101} \equiv (-1)^{101} \equiv -1 \equiv 3 \mod 4
\]

Vì vậy:

\[
3^{101} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 4
\]

Do đó,

\[
\frac{3^{101} - 3}{2} \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 4
\]

Như vậy, \( A \) chia hết cho 4.

### Bước tiếp theo: Tìm \( x \):

Ta có:

\[
2A + 3 = 2 \left( \frac{3^{101} - 3}{2} \right) + 3 = (3^{101} - 3) + 3 = 3^{101}
\]

Vì vậy, phương trình là:

\[
3^{x} = 3^{101}
\]

Suy ra, \( x = 101 \).

### Kết quả cuối cùng:

- \( A \) chia hết cho 4.
- \( x = 101 \).