Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác DEHK là hình gì?

Ta có tứ giác DEHK, trong đó D và E là các điểm trên các cạnh của tam giác ABC, và H và K là trung điểm của các đoạn GB và GC. Khi BD và CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC, ta biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do H và K là điểm trung điểm của các đoạn thẳng GB và GC, tứ giác DEHK có thể không nhất thiết là một hình chữ nhật hay hình vuông. Tuy nhiên, vì H và K là các trung điểm của các đoạn thẳng kéo dài từ G đến các đỉnh B và C, tứ giác DEHK sẽ có một số tính chất đáng chú ý như diện tích và các cạnh có thể so sánh với nhau.

### b) Tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác DEHK là hình chữ nhật?

Tứ giác DEHK sẽ là hình chữ nhật nếu hai đoạn thẳng DE và HK vuông góc với nhau và các cạnh đối diện DE và HK cùng có độ dài.

Điều này xảy ra nếu BD và CE (các đường trung tuyến) vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Khi đó, các đoạn HG và KG sẽ có chiều dài bằng nhau và cũng vuông góc với DE, tạo ra một tứ giác hình chữ nhật.

### c) Nếu 2 đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì DEHK là hình gì?

Nếu hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau, tứ giác DEHK sẽ là hình chữ nhật. Điều này là bởi vì khi BD và CE vuông góc, các trung điểm H và K sẽ tạo thành các đoạn thẳng vuông góc với nhau, do đó, tứ giác DEHK sẽ có các cạnh vuông góc và độ dài các cạnh đối diện bằng nhau.

Tóm lại:
- a) Tứ giác DEHK có thể là một tứ giác bất kỳ.
- b) Tứ giác DEHK là hình chữ nhật khi BD và CE vuông góc tại G.
- c) Nếu hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc thì DEHK là hình chữ nhật.