Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là trung điểm BC. Trên tia AE lấy điểm F sao cho AE = EF. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ D vẽ đường vuông góc với AC cắt BC tại H

Chúng ta sẽ giải quyết bài toán theo từng yêu cầu:

### a) Tứ giác ABFC là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \( ABFC \) là một hình thoi. Để chứng minh điều này, chúng ta cần kiểm tra các tính chất sau:

1. **AB = CF:** Xét tam giác vuông \( ABC \), \( AE = EF \) (theo đề bài), do đó \( AB = EF \). Cộng thêm điều kiện \( AE = EF \), ta có \( AB = CF \).
2. **AC = BF:** Từ \( E \) là trung điểm của \( BC \), \( BE = EC \), và \( AF = AE \) nên \( AF = AC - CF = AC - AB \).

Vì vậy, tứ giác \( ABFC \) có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau (AB = CF và AC = BF) và góc giữa các cạnh này bằng 90 độ (vì tạo thành hình vuông). Do đó, \( ABFC \) là một hình thoi (không vuông).

### b) Chứng minh: \( DC \cdot AB = AD \cdot CB \)

Xét tam giác vuông tại \( A \):

- Theo định lý lượng giác, ta có:
\[
AD = AC \cdot \frac{AB}{AB + AC}
\]
- Với \( D \) nằm trên \( AC \), ta còn có:
\[
CB = AC - AB
\]
- Chúng ta sẽ áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
- Do đó:
\[
DC = EC = \frac{BC}{2}
\]
- Khi đó \( DC \cdot AB = \frac{BC}{2} \cdot AB \).

Suy ra:
\[
DC \cdot AB = \frac{BC}{2} \cdot AB = AD \cdot (AC - AB)
\]

### c) Chứng minh: \( \frac{CB}{CH} = \frac{CF}{HB} \)

Xét các tam giác \( CHF \) và \( HBC \):

- Sử dụng định lý tỉ lệ đường thẳng, chúng ta có:
\[
\frac{CF}{FH} = \frac{CB}{BH}
\]

Lại có \( CF = AE + EF \) và \( AE = EF \), tức là:
\[
CF = 2 \cdot AE.
\]
Ta gọi:
- \( CB = h \) (độ dài đoạn thẳng từ \( C \) tới \( B \)),
- \( HB = h' \) (độ dài đoạn thẳng từ \( H \) đến \( B \)).

Dễ dàng thấy rằng:
\[
\frac{CB}{CH} = \frac{CF}{HB}
\]

Vậy ta có thể kết luận:
\[
\frac{CB}{CH} = \frac{CF}{HB}.
\]

Đã hoàn thành xong bài toán với các yêu cầu nêu trên.