Bạn đưa ra một bài toán hình học liên quan đến tam giác nhọn và một số điểm quan trọng. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng phần của bài toán:

### a. Chứng minh \( BHCK \) là hình bình hành
- Xét tam giác ABC có AB < AC. Vậy đường thẳng BK vuông góc với AB và đường thẳng CK vuông góc với AC.
- Xét hai góc:
- \( \angle ABK = 90^\circ \) (do BK vuông góc với AB)
- \( \angle ACK = 90^\circ \) (do CK vuông góc với AC)
- Vì hai góc này cùng vuông, nên \( \angle BHK = \angle CHK \).
- Xét đoạn thẳng BM và CM (M là trung điểm của BC), có:
- \( BM = MC \)
- Từ đó, ta có:
- \( BH = CK \) (góc BHK và CHK tạo thành hai cặp góc đối diện bằng nhau)
- Như vậy, từ \( BM = MC \), \( BH = CK \) và \( \angle BHK = \angle CHK \), ta có thể kết luận rằng tứ giác BHCK là một hình bình hành.

### b. Chứng minh \( H, M, K \) thẳng hàng
- Từ nhận định ở trên, ta biết rằng \( BH \parallel CK \) (do BH và CK đều là các đường cao trong hình bình hành BHCK).
- Đồng thời, \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên nó nằm trên đường thẳng nối B và C.
- Với B H và CK song song, thì M cũng nằm trên đường thẳng nối chúng (do BHCK là hình bình hành). Suy ra \( H, M, K \) là ba điểm thẳng hàng.

### c. Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân
- Vẽ đường thẳng HG vuông góc với BC, lấy I sao cho HG = GI.
- Từ đó, tạo ra tứ giác BIKC.
- Do đoạn thẳng HG vuông góc với BC và I nằm trên tia HG, ta có \( BI \parallel CK \) và \( BK \parallel CI \).
- Vì BK và CI lần lượt là các đường vuông góc với hai cạnh AB và AC, do đó chúng sẽ tạo thành hai cặp góc đối diện bằng nhau.
- Từ đó, ta nhận thấy rằng tứ giác BIKC có cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau (BK = CI và BI = CK).
- Do vậy, tứ giác BIKC là một hình thang cân.

### Hình vẽ
Để hình dung dễ hơn, bạn có thể phác họa tam giác ABC, đánh dấu các điểm B, C, A, H, M, K, I và các đường vuông góc như sau:
- Vẽ tam giác ABC với AB < AC.
- Đánh dấu các điểm H (cắt nhau của đường cao), M (trung điểm BC), K (cắt nhau của đường vuông góc từ B và C).
- Vẽ đường thẳng HG vuông góc với BC, sau đó vẽ điểm I sao cho HG = GI.

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn giải quyết tốt bài toán và vẽ được hình chính xác.