Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

1. **Tính chất hình học**: Chúng ta có tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \).
2. **Đường cao**: \( AD \) và \( BE \) cắt nhau tại \( H \). Do \( AD \) là đường cao, \( D \) là trung điểm của \( BC \).
3. **Tam giác AHE**: Vì \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( AHE \), nên góc \( AHE \) là góc ở tâm và góc \( ABE \) là góc nội tiếp.
4. **Kết luận**: Như vậy, \( A, E, D, B \) cùng nằm trên một đường tròn vì tất cả các góc nội tiếp và góc ở tâm có liên quan đến cùng một cung.

### b) Chứng minh \( ED = \frac{1}{2} BC \).

1. **Tính chất của đường cao**: \( D \) là trung điểm của \( BC \).
2. **Công thức**: Áp dụng tính chất của tam giác và đường cao, ta có:
\[
ED = EH \cdot \sin(AHE)
\]
và do \( D \) là trung điểm:
\[
BC = 2 \cdot ED
\]
3. **Kết luận**: Vậy \( ED = \frac{1}{2} BC \).

### c) Chứng minh \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( O \).

1. **Tiếp tuyến và bán kính**: Để \( DE \) là tiếp tuyến tại \( D \), ta cần điều kiện \( DH \perp DE \) (bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến).
2. **Sử dụng góc**: Xem xét góc \( AHE \) và \( ADE \). Ta có \( AH \) là đường cao, nên \( AH \perp DE \).
3. **Kết luận**: Suy ra rằng, với tính chất tiếp tuyến và bán kính, \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( O \).

Hy vọng rằng các bước giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này. Nếu cần giải thích chi tiết hơn ở bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!