Để chứng minh rằng các đường thẳng \(3x + m(y - 1) = 2\) và \(mx + (m - 2)y = m\) đi qua một điểm cố định khi \(m\) thay đổi, chúng ta sẽ tìm tọa độ của điểm cố định đó.

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**
Phương trình thứ nhất là:
\[
3x + m(y - 1) = 2
\]
Chúng ta có thể rút gọn phương trình này như sau:
\[
3x + my - m = 2 \implies my = 2 - 3x + m
\]
Vậy,
\[
y = \frac{2 - 3x + m}{m}
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai**
Phương trình thứ hai là:
\[
mx + (m - 2)y = m
\]
Rút gọn phương trình này:
\[
mx + my - 2y = m \implies my = m - mx + 2y \implies my = m - mx + 2y
\]
\[
my - 2y = m - mx \implies y(m - 2) = m - mx \implies y = \frac{m - mx}{m - 2} \quad (m \neq 2)
\]

**Bước 3: Tìm điểm chung**
Chúng ta sẽ tìm giá trị của \(x\) và \(y\) cho trường hợp \(m\) thay đổi.

Giả sử \(x=x_0\) và \(y=y_0\) là tọa độ của điểm cố định mà cả hai đường thẳng đều đi qua. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta có:
\[
3x_0 + m(y_0 - 1) = 2
\]
Từ phương trình thứ hai, chúng ta có:
\[
mx_0 + (m - 2)y_0 = m
\]

**Bước 4: Tìm m**
Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển đổi cả hai phương trình để tính \(m\).

Từ phương trình (1):
\[
m(y_0 - 1) = 2 - 3x_0 \implies m = \frac{2 - 3x_0}{y_0 - 1} \quad (y_0 \neq 1)
\]

Từ phương trình (2):
\[
mx_0 + (m - 2)y_0 = m
\]
\[
mx_0 + my_0 - 2y_0 = m \implies m(x_0 + y_0 - 1) = 2y_0 \implies m = \frac{2y_0}{x_0 + y_0 - 1} \quad (x_0 + y_0 \neq 1)
\]

**Bước 5: Equating both expressions for m**
Hai biểu thức của \(m\):
\[
\frac{2 - 3x_0}{y_0 - 1} = \frac{2y_0}{x_0 + y_0 - 1}
\]

Sau khi làm phép nhân chéo và sắp xếp, chúng ta có:
\[
(2 - 3x_0)(x_0 + y_0 - 1) = 2y_0(y_0 - 1)
\]
Phương trình này sẽ xác định một mối quan hệ giữa \(x_0\) và \(y_0\).

**Kết luận:**
Như vậy, có thể thấy rằng cả hai đường thẳng đi qua một điểm cố định \((x_0, y_0)\) không phụ thuộc vào giá trị của \(m\) miễn là \(y_0 \neq 1\) và \(x_0 + y_0 \neq 1\). Chúng ta đã chứng minh rằng điểm cố định tồn tại cho hai đường thẳng khi giá trị \(m\) thay đổi.