Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý về đường tròn và hình học cơ bản.

### a) Tính khoảng cách từ O đến CD

1. **Tính độ dài AM và MB:**
- MC = 4 cm
- MD = 12 cm
- Tổng chiều dài CD là \( MC + MD = 4 + 12 = 16 \) cm.
- Từ điểm M, ta có \( MB = MD - MC = 12 - 4 = 8 \) cm.
- Ta cũng có \( AM = MB = 8 \) cm (vì M là giao điểm của CD với AB).

2. **Tính AB:**
- Đường kính AB là \( AB = AM + MB = 8 + 8 = 16 \) cm.

3. **Tính bán kính O:**
- Bán kính \( r = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) cm.

4. **Sử dụng định lý Sin trong tam giác BMD:**
\[
BD = BM \sin(\angle BMD) = 8 \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ cm}
\]

5. **Xác định khoảng cách từ O đến CD:**
- Khoảng cách từ O đến CD được tính bằng:
\[
d = MB \cos(\angle BMD) = 8 \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### b) Tính bán kính của O

Bán kính đã được tính ở trên là \( r = 8 \) cm.

### Kết luận:
a) Khoảng cách từ O đến CD là \( 4\sqrt{3} \) cm.
b) Bán kính của O là 8 cm.