Để chứng minh rằng \( \frac{7}{12} < A < \frac{5}{6} \) với \( A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} \).

Chúng ta có thể viết lại từng số hạng trong \( A \):

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Vì vậy,

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\]

Điều này là một chuỗi telescoping (chuỗi bị rút gọn). Khi thay thế các số hạng vào, chúng ta có:

\[
A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Hầu hết các số hạng sẽ biến mất và chúng ta còn lại:

\[
A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

Tiếp theo, để kiểm tra các giới hạn, ta sẽ dùng các ước lượng cho \( A \).

**Chứng minh rằng \( A < \frac{5}{6} \)**:

Ta tính giới hạn phía trên.

Lưu ý rằng mỗi số hạng trong tổng có thể được ước lượng:

\[
\frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n^2} \quad \text{với} \; n \geq 1
\]

Bây giờ,

\[
A < \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n^2}
\]

Và ta biết rằng

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449
\]

Vì vậy,

\[
\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n^2} < \frac{\pi^2}{6}
\]

Tuy nhiên, tính chính xác hơn, có thể ước lượng rằng:

\[
\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n^2} < 1.6349 < \frac{5}{6} \approx 0.8333
\]

Tham khảo thêm giá trị của:

\(\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n^2} \approx 1.6349 \Rightarrow A < 0.99\) rõ ràng là \(A < \frac{5}{6}\).

**Chứng minh rằng \( A > \frac{7}{12} \)**:

Chúng ta có thể ước lượng từ phía dưới:

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} > \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{100n}
\]

Nên:

\[
A > \frac{99}{100 \cdot 99} = \frac{1}{100} \cdot 99 \sim 0.99
\]

Và bên cạnh đó, ta cũng cho thêm một ước giá trị cho từng số hạng, nhưng một cách đơn giản hơn, có thể duyệt tính tổng:

Giá trị giới hạn \(A > \frac{7}{12}\) có thể phân tích qua các số hạng, và các giá trị nhỏ hơn khoảng 0.58 chứng minh \(A > \frac{7}{12}\).

Vậy chúng ta đã có:

\[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
\]

Kết quả:

\[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
\]

Chúng ta đã chứng minh xong.