Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và a² = bc. Gọi ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao kề từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh:

Để chứng minh các phần a), b) và c) của bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của tam giác và một số tính chất hình học cơ bản.

### Phần a)
Chúng ta có công thức diện tích tam giác ABC:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c
\]

Từ đó ta có:

\[
S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c
\]

Chia các vế cho \(\frac{1}{2}\):

\[
a h_a = b h_b = c h_c
\]

Từ đó suy ra:

\[
a h_a = b h_b \Rightarrow a h_a = b h_b
\]

### Phần b)
Từ phần a) đã chứng minh được rằng:

\[
a h_a = b h_b = c h_c
\]

Chia cho \(a\), \(b\) và \(c\) tương ứng ta có:

\[
h_a = \frac{b h_b}{a} = \frac{c h_c}{b} \quad \text{và} \quad h_b = \frac{a h_a}{c} = \frac{c h_c}{a} \quad \text{và} \quad h_c = \frac{a h_a}{b} = \frac{b h_b}{c}
\]

Như vậy, với các tỉ lệ trên, ta có thể suy luận:

\[
\frac{h_b}{c} = \frac{h_c}{b}
\]

Chứng minh xong phần b).

### Phần c)
Từ công thức \(h_a = \frac{2S}{a}\), \(h_b = \frac{2S}{b}\), và \(h_c = \frac{2S}{c}\), chúng ta có thể thiết lập tỉ lệ:

\[
\frac{h_a}{h_b} = \frac{2S/a}{2S/b} = \frac{b}{a}
\]

Tương tự cho các chiều cao khác:

\[
\frac{h_b}{h_c} = \frac{c}{b} \quad \text{và} \quad \frac{h_c}{h_a} = \frac{a}{c}
\]

Từ đó c. kết luận rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Chúng ta đã chứng minh thành công các phần của bài toán.