Để chứng minh các tính chất của tứ giác AEFM trong hình bình hành ABCD, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AEFM là hình thang

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Gọi A, B, C, D lần lượt có tọa độ: \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, h) \), và \( D(b, h) \).
- M là trung điểm của AB: \( M\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- N là trung điểm của CD: \( N\left(\frac{b + (a + b)}{2}, h\right) = \left(a + \frac{b}{2}, h\right) \).
- E là trung điểm của AN: \( E\left(\frac{0 + (a + \frac{b}{2})}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{a + \frac{b}{2}}{2}, \frac{h}{2}\right) \).
- F là trung điểm của CM: \( F\left(\frac{(a + b) + \frac{a}{2}}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{2a + 2b + a}{4}, \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{3a + 2b}{4}, \frac{h}{2}\right) \).

2. **Chứng minh AEFM là hình thang**:
- Trong tứ giác AEFM, ta cần chứng minh \( EF \parallel AM \) hoặc \( EF \parallel MF \).
- Hệ số góc của AM:

\[
\text{slope}(AM) = \frac{0 - 0}{\frac{a}{2} - 0} = 0
\]
- Hệ số góc của EF:

\[
\text{slope}(EF) = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{3a + 2b}{4} - \frac{a + \frac{b}{2}}{2}} = 0
\]

(chứng minh cho EF cũng có hệ số góc = 0)

Từ đó, \( AM \parallel EF \), và do đó \( AEFM \) là hình thang.

### b) Chứng minh DE = EF = FB

1. **Tính độ dài DE**:
- Tính độ dài DE: sử dụng khoảng cách giữa hai điểm E và D.

\[
DE = \sqrt{\left(b - \frac{a + \frac{b}{2}}{2}\right)^2 + \left(h - \frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(b - \frac{a}{2} - \frac{b}{4}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
\]

2. **Tính độ dài EF**:
- Tính độ dài EF:

\[
EF = \sqrt{\left(\frac{3a + 2b}{4} - \frac{a + \frac{b}{2}}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{h}{2}
\]

3. **Tính độ dài FB**:
- Tính độ dài FB:

\[
FB = \sqrt{\left(a - \frac{3a + 2b}{4}\right)^2 + 0^2} = \frac{h}{2}
\]

**Kết luận**: Vì \( DE = EF = FB \), ta có \( DE = EF = FB \).

Thông qua các phép chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác AEFM là hình thang và có các đoạn DE, EF, FB bằng nhau.