Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và a² = bc. Gọi ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh:

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần.

### a) Chứng minh \( a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c \)

1. **Tính diện tích tam giác ABC:**
Ta có thể tính diện tích tam giác ABC theo hai cách:
- Sử dụng cạnh đáy \( a \) và chiều cao \( h_a \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a
\]
- Sử dụng cạnh đáy \( b \) và chiều cao \( h_b \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b
\]
- Sử dụng cạnh đáy \( c \) và chiều cao \( h_c \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c
\]

2. **Thiết lập các phương trình:**
Từ công thức tính diện tích, ta có:
\[
\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b \Rightarrow a h_a = b h_b
\]
\[
\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} c h_c \Rightarrow a h_a = c h_c
\]

3. **Kết luận:**
Từ đó, ta suy ra được:
\[
a h_a = b h_b = c h_c
\]

### b) Chứng minh \( \frac{h_b}{c} = \frac{h_c}{b} \)

1. **Theo điều đã chứng minh ở phần a)**, ta có:
\[
a h_a = b h_b = c h_c
\]

2. **Xét tỷ số:**
Từ \( b h_b = c h_c \), ta có:
\[
b h_b = c h_c \Rightarrow \frac{h_b}{c} = \frac{h_c}{b}
\]

### c) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đường cao của tam giác ABC.

1. **Xét các tỉ lệ giữa các cạnh và chiều cao:**
Từ phần a), ta đã chứng minh được sự liên hệ giữa các chiều cao và các cạnh. Đặt \( k = \frac{h_a}{a} = \frac{h_b}{b} = \frac{h_c}{c} \).

2. **Đối với các tam giác:**
Tam giác ABC và tam giác có các cạnh là \( h_a, h_b, h_c \) sẽ có tỉ lệ tương ứng \( \frac{h_a}{a} = \frac{h_b}{b} = \frac{h_c}{c} \).

3. **Kết luận:**
Vì tam giác ABC và tam giác với các cạnh bằng chiều cao có tỉ lệ giống nhau nên chúng đồng dạng.

### Kết quả:
Đã chứng minh thành công các điều đã nêu trong bài toán.