Để tính giá trị của biểu thức \( A = x^2 + xy + \frac{y^2}{4} \) với điều kiện \( \frac{x+y}{2} = 100 \), trước tiên chúng ta có thể tính được \( x+y \).

Từ điều kiện:
\[
\frac{x+y}{2} = 100 \implies x+y = 200
\]

Gọi \( y = 200 - x \). Thay \( y \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = x^2 + x(200 - x) + \frac{(200 - x)^2}{4}
\]

Tiến hành tính toán biểu thức trên:

1. Tính phần đầu tiên:
\[
x^2
\]

2. Tính phần thứ hai:
\[
x(200 - x) = 200x - x^2
\]

3. Tính phần thứ ba:
\[
\frac{(200 - x)^2}{4} = \frac{40000 - 400x + x^2}{4} = 10000 - 100x + \frac{x^2}{4}
\]

Gom nhóm tất cả các thành phần lại:
\[
A = x^2 + (200x - x^2) + \left(10000 - 100x + \frac{x^2}{4}\right)
\]

Cộng tất cả lại:
\[
A = \left(x^2 - x^2 + \frac{x^2}{4}\right) + (200x - 100x) + 10000
\]
\[
A = \frac{x^2}{4} + 100x + 10000
\]

Để dễ dàng hơn trong việc tính giá trị của biểu thức, chúng ta sẽ mô tả \( x \) và tính nó trên miền giá trị hợp lý. Tuy nhiên, để đạt được giá trị tốt nhất của \( A \), ta có thể tìm kiếm các giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \) mà vẫn thỏa mãn \( x + y = 200 \).

Giả sử \( x = y \), ta có:
\[
x + x = 200 \implies 2x = 200 \implies x = 100, \quad y = 100
\]

Thay vào biểu thức:
\[
A = 100^2 + 100 \cdot 100 + \frac{100^2}{4}
\]
\[
A = 10000 + 10000 + 2500 = 22500
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là:
\[
A = 22500
\]