Để chứng minh rằng nếu \( BS = 2EP \) thì \( CS \parallel PF \), chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales.

### Bước 1: Hệ thức về độ dài
Gọi \( D, E, F \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( BC, CA, AB \). Vì \( D, E, F \) là trung điểm nên ta có:
\[
BD = DC = \frac{1}{2}BC, \quad CE = EA = \frac{1}{2}CA, \quad AF = FB = \frac{1}{2}AB
\]

### Bước 2: Xét tam giác và tỉ lệ
Theo giả thiết, chúng ta có \( BS = 2EP \). Gọi \( EP = x \). Khi đó \( BS = 2x \).

### Bước 3: Sử dụng định lý Thales
Trong tam giác \( BSE \) và đoạn thẳng \( PD \) là đường thẳng trải dài, ta có:
\[
\frac{BS}{EP} = \frac{2x}{x} = 2
\]

Vì \( S \) được xác định trên đường thẳng song song với \( PE \), và \( B \), \( E \) nằm cùng trên một đường thẳng, ta có thể áp dụng định lý Thales cho các đoạn thẳng \( CS \) và \( PF \).

### Bước 4: Kết luận
Theo định lý Thales:
\[
\frac{CS}{PF} = \frac{BD}{DE} \quad \text{(tỉ lệ với các đoạn thẳng tương ứng)}
\]
Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) là trung điểm của \( CA \), nên có:
\[
CS \parallel PF \quad (BS = 2EP)
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \( BS = 2EP \) thì \( CS \parallel PF \).