Để chứng minh tam giác \(ADE\) là tam giác cân, ta sẽ sử dụng thông tin từ các góc vuông và tính chất của tam giác.

### Bước 1: Chứng minh tam giác \(ADE\) cân

1. **Thông tin đã cho**:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
- \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường cao từ \(A\) và \(B\) xuống cạnh \(BC\).
- \(AD \perp DC\) và \(BE \perp AE\).

2. **Góc vuông**:
- Ta có \( \angle ADC = \angle AEB = 90^\circ \).
- Khi đó, \(AD\) và \(BE\) đều là đường cao của tam giác.

3. **Nhận xét về tam giác**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\), nếu \(D\) và \(E\) là những điểm như trên, tức là:
- \(AD = BE\) (chiều cao tương ứng từ đỉnh cho cạnh đáy).

4. **Kết luận**:
- Do \(AD\) và \(BE\) là hai đoạn thẳng vuông góc từ hai đỉnh của tam giác \(ADE\) đến cạnh đáy \(DC\), ta có:
\[
AD = BE \Rightarrow \angle ADE = \angle ABE
\]

=> Ta có \(AD = BE\) và \( \angle ADE = \angle ABE\), vậy \( \triangle ADE \) là tam giác cân.

### Bước 2: Tính độ dài \(DC\), \(CI\) và diện tích tam giác \(ADI\)

1. **Thông tin cho trước**:
- \(AB = 6\) cm.
- \(AC = 10\) cm.

2. **Tính \(DC\)**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow 10^2 = 6^2 + DC^2 \Rightarrow 100 = 36 + DC^2
\]
\[
DC^2 = 64 \Rightarrow DC = 8 \text{ cm}
\]

3. **Tính \(CI\)**:
- Đường cao \(CI\) với \(I\) là trung điểm của \(DC\), do đó:
\[
CI = \frac{1}{2} \cdot DC \Rightarrow CI = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}
\]

4. **Diện tích tam giác \(ADI\)**:
- Diện tích \(S_{ADI} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CI\):
- Giả sử \(AD\) là chiều cao xuất phát từ \(A\), dùng thông tin có sẵn, ta áp dụng công thức:
\[
S_{ADI} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CI
\]
(Với AD cần tìm ra giá trị cụ thể).

### Tổng kết

Đến đây, bạn cần tính giá trị cụ thể của \(AD\) (có thể tìm từ tính chất tam giác vuông) để hoàn thành bài toán.