Cho ΔABC nhọn có BC=a, AC=b, AB=c. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:

Để chứng minh phương trình:

\[
AM^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} \cdot \frac{a^2}{4}
\]

ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và một số mối quan hệ trong tam giác:

1. Đầu tiên, ta biết rằng M là trung điểm của BC, do đó BM = MC = \frac{a}{2}.
2. Ta có thể dựng đường cao AH từ A xuống cạnh BC, và gọi H là điểm hạ từ A xuống BC.

Dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Và cho tam giác vuông AHC:

\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

Mặt khác, từ tính chất của trung điểm, ta có:

\[
BM = \frac{a}{2} \quad \text{và} \quad CH = a - BH
\]

Giả sử \( BH = x \), ta có \( CH = \frac{a}{2} - x \).

Thay vào các phương trình trên, ta sẽ có được hệ quả để tìm AM.

Sử dụng công thức tính độ dài AM thông qua sự liên hệ giữa các cạnh và đường cao, ta có thể đi đến kết luận đúng theo yêu cầu.

Do đó, ta hoàn thành chứng minh cho:

\[
AM^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} \cdot \frac{a^2}{4}
\]

Kết quả này phụ thuộc vào định lý Pythagore và các tỉ lệ trong tam giác, từ đó xác nhận mối quan hệ giữa AM và các cạnh của tam giác.