Để chứng minh phương trình:
AM2=b2+c22⋅a24
ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và một số mối quan hệ trong tam giác:
1. Đầu tiên, ta biết rằng M là trung điểm của BC, do đó BM = MC = \frac{a}{2}.
2. Ta có thể dựng đường cao AH từ A xuống cạnh BC, và gọi H là điểm hạ từ A xuống BC.
Dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:
AB2=AH2+BH2
Và cho tam giác vuông AHC:
AC2=AH2+CH2
Mặt khác, từ tính chất của trung điểm, ta có:
BM=a2vàCH=a−BH
Giả sử
BH=x, ta có
CH=a2−x.
Thay vào các phương trình trên, ta sẽ có được hệ quả để tìm AM.
Sử dụng công thức tính độ dài AM thông qua sự liên hệ giữa các cạnh và đường cao, ta có thể đi đến kết luận đúng theo yêu cầu.
Do đó, ta hoàn thành chứng minh cho:
AM2=b2+c22⋅a24
Kết quả này phụ thuộc vào định lý Pythagore và các tỉ lệ trong tam giác, từ đó xác nhận mối quan hệ giữa AM và các cạnh của tam giác.