GT tam giác MNP có góc M = 90 độ góc N = 60 độ. KL a, So sánh các cạnh của tam giác MNP; b, Lấy Q thuộc NP: NQ = NM. NI là tia phân giác góc MNP (I thuộc MP). CM tam giác MNI = tam giác QNI ..

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

### a. So sánh các cạnh của tam giác MNP
Trong tam giác MNP, với góc M = 90 độ và góc N = 60 độ, ta có thể xác định góc P:

\[
\text{Góc P} = 180^\circ - \text{Góc M} - \text{Góc N} = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
\]

Theo quy tắc của tam giác vuông và các góc, ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh. Gọi các cạnh như sau:
- \( MN = a \)
- \( NP = b \)
- \( MP = c \)

Ta có:
- \( \frac{MN}{\sin P} = \frac{MP}{\sin N} = \frac{NP}{\sin M} \)

Thay các giá trị:
- \( \sin M = 1 \)
- \( \sin N = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin P = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

Từ đó, ta đã có tỉ lệ:

\[
\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{1}
\]

Từ đó ta tìm được:

\[
a : b : c = 1 : 2\sqrt{3} : 2
\]

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
c > a > b
\]

### b. Chứng minh tam giác MNI = tam giác QNI
Cho Q thuộc NP sao cho \( NQ = NM \). Với NI là tia phân giác góc MNP, theo định lý tia phân giác:

\[
\frac{MN}{NP} = \frac{MI}{QI}
\]

Từ đó, ta có thể chứng minh rằng:

- \( MN = NM \) (giả thiết)
- \( NQ = NM \) (giả thiết)

Như vậy, có thể suy ra:

\[
MN = NQ \text{ và } NI = NI
\]

Suy ra khoa học:
- Các cạnh tương ứng của tam giác MNI và QNI bằng nhau và theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (SSS) trong hình học phẳng, ta có:

\[
\triangle MNI = \triangle QNI
\]

### c. Chứng minh NI > MQ
Vì NQ = NM = a, ta đã xác định rằng góc N là 60 độ, và NI là tia phân giác trong tam giác vuông. Từ định lý về tia phân giác thì NI chia NP thành 2 đoạn tỉ lệ với các cạnh kề:

\[
\frac{MI}{NI} = \frac{MN}{NP}
\]

Do đó, vì \( MN > 0 \) và \( NP \) to lớn hơn nên:

\[
NI > MQ
\]

### d. Chứng minh H là trung điểm MQ
Gọi H là giao điểm của NI và MQ. Rõ ràng, vì NI là tia phân giác và cũng là đường cao trong tam giác vuông nên H chia MQ thành hai phần bằng nhau. Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng:

\[
MH = HQ
\]

Do đó, H là trung điểm của MQ.

### Kết luận
Chúng ta đã thực hiện các yêu cầu của bài toán và chứng minh được các kết quả cần thiết.