Cho hàm số

Để giải bài toán, chúng ta có hàm số \( y = \frac{1 - x^2}{x} \). Trước tiên, chúng ta cần tìm các tọa độ của các điểm \( M \) trên đồ thị của hàm số này.

Tọa độ của điểm \( M \) thuộc đồ thị \( (C) \) có thể được biểu diễn như sau:
\[
M(x, y) = \left( x, \frac{1 - x^2}{x} \right)
\]

Để tiện lợi cho việc tính toán, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến trục hoành (TCĐ) và trục tung (TCX).

1. **Tính khoảng cách \( d(M, TCĐ) \)**:
Khoảng cách từ \( M \) đến trục hoành là phần y của điểm M:
\[
d(M, TCĐ) = |y| = \left| \frac{1 - x^2}{x} \right|
\]

2. **Tính khoảng cách \( d(M, TCX) \)**:
Khoảng cách từ \( M \) đến trục tung là phần x của điểm M:
\[
d(M, TCX) = |x|
\]

Bài toán yêu cầu tìm các \( M \) thỏa mãn:
\[
d(M, TCĐ) = \sqrt{2} \cdot d(M, TCX)
\]
Từ những công thức trên, ta thay vào:
\[
\left| \frac{1 - x^2}{x} \right| = \sqrt{2} \cdot |x|
\]

Bây giờ, để có thể làm đơn giản phương trình này, ta sẽ phân tích nó theo các trường hợp dương và âm của các đại lượng.

**Trường hợp 1: \( x > 0 \)**

Trong trường hợp này, ta có:
\[
\frac{1 - x^2}{x} = \sqrt{2} x
\]
giải phương trình này:
\[
1 - x^2 = \sqrt{2} x^2
\]
\[
1 = (\sqrt{2} + 1)x^2
\]
\[
x^2 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}
\]
Sử dụng nhân liên hợp để đơn giản hóa:
\[
x^2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1
\]
\[
x = \sqrt{\sqrt{2} - 1}
\]

**Trường hợp 2: \( x < 0 \)**

Trong trường hợp này, ta có:
\[
-\frac{1 - x^2}{x} = \sqrt{2} (-x)
\]
\[
-(1 - x^2) = \sqrt{2}(-x^2)
\]
\[
1 - x^2 = \sqrt{2}x^2
\]
Phương trình này giống như trường hợp 1, dẫn tới cùng một kết quả:
\[
x^2 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 \implies x = -\sqrt{\sqrt{2} - 1}
\]

Cuối cùng, ta có hai giá trị cho x:
\[
x = \sqrt{\sqrt{2} - 1} \quad \text{và} \quad x = -\sqrt{\sqrt{2} - 1}
\]

Tính y tại hai điểm này:
\[
y = \frac{1 - x^2}{x} \implies y = \frac{1 - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{\sqrt{2} - 1}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}
\]
Vì thế, các điểm \( M \) có tọa độ là:
\[
M_1 \left( \sqrt{\sqrt{2}-1}, \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{2}-1}} \right) \quad \text{và} \quad M_2 \left( -\sqrt{\sqrt{2}-1}, \frac{2-\sqrt{2}}{-\sqrt{\sqrt{2}-1}} \right)
\]

Đó là các điểm mà ta cần tìm trên đồ thị.