Xét số hữu tỉ x thỏa mãn 2x^2 - x thuộc Z, chứng minh 2x thuộc Z

Để chứng minh rằng nếu \( 2x^2 - x \in \mathbb{Z} \) thì \( 2x \in \mathbb{Z} \), ta sẽ bắt đầu từ giả thiết.

Giả sử \( x \) là một số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng \( x = \frac{p}{q} \), trong đó \( p \in \mathbb{Z} \), \( q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \).

Bây giờ, ta tính giá trị của \( 2x^2 - x \):

\[
2x^2 = 2 \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 2 \frac{p^2}{q^2} = \frac{2p^2}{q^2}
\]

\[
-x = -\frac{p}{q}
\]

Vậy,

\[
2x^2 - x = \frac{2p^2}{q^2} - \frac{p}{q} = \frac{2p^2 - pq}{q^2}
\]

Theo giả thiết, \( 2x^2 - x \in \mathbb{Z} \). Điều này có nghĩa là

\[
\frac{2p^2 - pq}{q^2} \in \mathbb{Z}
\]

Từ đó, suy ra:

\[
2p^2 - pq \in \mathbb{Z} \cdot q^2
\]

Như vậy, \( 2p^2 - pq \) là một số nguyên chia hết cho \( q^2 \).

Tiếp theo, ta tính \( 2x \):

\[
2x = 2 \cdot \frac{p}{q} = \frac{2p}{q}
\]

Để chứng minh \( 2x \in \mathbb{Z} \), tức là \( \frac{2p}{q} \in \mathbb{Z} \), thì \( q \) phải chia hết cho \( 2p \).

Từ \( 2p^2 - pq \in \mathbb{Z} \cdot q^2 \) có thể giúp ta kết luận về việc \( q \) chia hết một số kiểu nào đó, nhưng ta có thể giải quyết theo cách trực tiếp hơn.

Giả sử \( 2x^2 - x = k \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)), ta có thể viết lại như sau:

\[
2x^2 - x - k = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai với \( x \) là nghiệm. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-k)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8k}}{4}
\]

Để \( x \) là số hữu tỉ, điều kiện \( \sqrt{1 + 8k} \) cần phải là số nguyên, tức là \( m^2 = 1 + 8k \) đối với một số nguyên \( m \). Điều này có thể viết lại thành \( 8k = m^2 - 1 \), hay \( k = \frac{m^2 - 1}{8} \).

Từ đó, ta có thể xét tới \( 2x = \frac{2p}{q} \). Để đảm bảo \( 2x \in \mathbb{Z} \), \( q \) được giải thích là phải có dạng nào đó cho phép nó chia hết cho \( 2p \).

Như đã thấy, nếu \( 2p^2 - pq \) chia hết cho \( q^2 \), và \( \frac{2p}{q} \in \mathbb{Z} \) cần phải đúng. Kết luận chính xác từ điều kiện này khẳng định rằng:

Nếu \( 2x^2 - x \in \mathbb{Z} \) thì \( 2x \in \mathbb{Z} \).

Vậy ta đã chứng minh xong.