Cho hình bình hành ABCD có E F lần lượt là trung điểm của AB và CD. chứng minh các tứ giác AEFD, BEFC, EDFB là hình bình hành

Để chứng minh các tứ giác AEFD, BEFC, và EDFB đều là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và vị trí của các điểm trung điểm.

1. **Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành:**

- Xét hình bình hành ABCD, ta có:
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD.
- Theo định nghĩa, ta có:
\[
\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB} \quad \text{và} \quad \vec{DF} = \frac{1}{2}\vec{DC}
\]
- Tính chất của hình bình hành cho biết \( AB \parallel CD \), nên:
\[
\vec{EA} \parallel \vec{FD}
\]
- Tương tự, vì E và F là trung điểm, ta có \( EF = \frac{1}{2}DC \) và \( EF \parallel AD \).
- Như vậy, AE và DF là hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AEFD đều song song và EF là cạnh chung.
- Do đó, AEFD là hình bình hành.

2. **Chứng minh tứ giác BEFC là hình bình hành:**

- Xét tứ giác BEFC:
- Gọi G là trung điểm của BC, H là trung điểm của EF (tứ giác chúng ta cần chứng minh).
- Ta có \( BE \parallel FC \) (vì BE = EF và EF = FC, chúng đều là đoạn thẳng nằm giữa hai bên song song).
- Tương tự, \( BF \parallel CE \) (từ đặc tính song song của các cạnh đã nói ở tứ giác AEFD).
- Các cặp cạnh BE và FC, BF và CE đều song song, vì vậy, BEFC là hình bình hành.

3. **Chứng minh tứ giác EDFB là hình bình hành:**

- Tương tự, từ tứ giác EDFB, chúng ta xét đoạn ED và FB.
- ED song song với FB (vì chúng đều là hai đoạn từ các điểm trung điểm của các cạnh AB và CD).
- EF cũng song song với DB vì EF = \(\frac{1}{2}DC\) và DB = \(\frac{1}{2}AD\) (cùng chiều và chiều dài tương ứng).
- Như vậy, cả hai cặp đối diện cũng song song, và ta có tứ giác EDFB là hình bình hành.

Tóm lại, ta đã chứng minh tứ giác AEFD, BEFC, và EDFB đều là hình bình hành dựa trên tính chất của hình bình hành và vị trí trung điểm.