Để chứng minh rằng hình MNPQ là hình vuông, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Bằng nhau các đoạn**: Ta đã có AM = BN = CP = DQ = k (một độ dài cố định).

2. **Tam giác bằng nhau**: Xem xét các tam giác AQM, BNM, CPN, DQP:
- Khai thác tính chất: \( QM = MN = NP = PQ = k \).

3. **Góc vuông**: Ta chứng minh rằng:
- Các tam giác BNM và CNP có hai cạnh bằng nhau (BM = CN = k) và có một cạnh chung (BN = CP).
- Do đó, chúng ta có \( \triangle BNM \cong \triangle CNP \) (cạnh, cạnh, cạnh).
- Từ đó suy ra góc BNM = góc CNP.

4. **Tính góc phức**: Ta có:
- \( BNM + BNM = 90^\circ \) suy ra \( MNP = 90^\circ \).

5. **Bằng nhau các cạnh**: Từ các đoạn thẳng \( QM = MN = NP = PQ \), và \( MNP = 90^\circ \), ta có:
- Hình MNPQ có bốn cạnh bằng nhau và có một góc vuông.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.