Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình:

\[ 2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0 \]

Ta sử dụng công thức delta để xác định điều kiện nghiệm phân biệt:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(2)(m^2 - 2)
\]
\[
= 4m^2 - 8 + 8 = 4m^2
\]

Nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\), tức là:

\[
4m^2 > 0 \implies m^2 > 0 \implies m \neq 0
\]

Ta có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\). Theo công thức Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2m}{2} = -m
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2 - 2}{2}
\]

Ta cần tính giá trị của biểu thức \(A\):

\[
A = |2x_1x_2 + x_1 + x_2 - 4|
\]

Thay bằng các biểu thức Viète, ta có:

\[
2x_1 x_2 = 2 \cdot \frac{m^2 - 2}{2} = m^2 - 2
\]
\[
x_1 + x_2 = -m
\]

Vậy:

\[
A = |(m^2 - 2) - m - 4| = |m^2 - m - 6|
\]

Bây giờ ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(A = |m^2 - m - 6|\).

Ta xét hàm số \(h(m) = m^2 - m - 6\). Để tìm cực trị của hàm số, ta cần tính đạo hàm:

\[
h'(m) = 2m - 1
\]

Giải \(h'(m) = 0\):

\[
2m - 1 = 0 \implies m = \frac{1}{2}
\]

Ta sẽ tính giá trị của hàm tại \(m = \frac{1}{2}\):

\[
h\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4}
\]

Vậy:

\[
|h(\frac{1}{2})| = \frac{25}{4}
\]

Xét giới hạn khi \(m \to \pm \infty\):

\[
h(m) \to +\infty \quad \text{(khi } m \to \pm \infty\text{)}
\]

Do đó, hàm số có giá trị lớn nhất là vô cùng.

Tuy nhiên, để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(|m^2 - m - 6|\) trên miền \(m \neq 0\) (vì \(m=0\) không nằm trong miền xác định), ta cần xem xét hai trường hợp:

1. Khi \(m^2 - m - 6 \geq 0\)
2. Khi \(m^2 - m - 6 < 0\)

Ta tìm nghiệm của phương trình bậc 2 \(m^2 - m - 6 = 0\):

\[
\Delta' = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \implies \text{có hai nghiệm } m = \frac{1 \pm 5}{2}
\]

Nghiệm:

\[
m_1 = 3, \quad m_2 = -2
\]

Vậy nghiệm của phương trình phân biệt phần giới hạn của giá trị lớn nhất là \(m=-2\) và \(m=3\). Tính giá trị tại hai điểm này:

\[
h(3) = 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0
\]
\[
h(-2) = (-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
\]

Điều này cho thấy rằng hàm như một parabol đi lên mà không có giá trị lớn nhất có giới hạn trên hữu hạn.

Tóm lại, giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = |m^2 - m - 6| \) là vô cùng. Vậy câu trả lời là không có giá trị lớn nhất hữu hạn.