Để chứng minh rằng \( a^2 + d \) không thể là số chính phương, với \( a \) là số nguyên dương và \( d \) là một ước số nguyên dương của \( 2a^2 \), chúng ta có thể làm như sau:

1. **Xét điều kiện**: Ta biết rằng \( d \) là ước số của \( 2a^2 \), do đó \( d \) có thể được viết theo dạng:
\[
2a^2 = k \cdot d
\]
với \( k \) là một số nguyên dương.

2. **Xét biểu thức**: Ta cần xem \( a^2 + d \) có thể là một số chính phương hay không. Gọi \( n^2 = a^2 + d \) với \( n \) là một số nguyên dương.

3. **Sắp xếp lại**:
\[
d = n^2 - a^2 = (n - a)(n + a)
\]
Trong phương trình này, \( d \) là một tích của hai số nguyên \( (n - a) \) và \( (n + a) \).

4. **Phân tích các khả năng của d**: Bởi vì \( d \) là ước của \( 2a^2 \), chúng ta phân tích các trường hợp của \( d \).
- Nếu \( d \) là một ước số của \( 2 \):
- Nếu \( d = 1 \): Ta có \( a^2 + 1 \). Tuy nhiên, \( a^2 + 1 \) rõ ràng là không phải là số chính phương cho \( a \geq 1 \) (vì số chính phương đứng sau một số chính phương luôn là chẵn hoặc hơn một đơn vị).
- Nếu \( d = 2 \): Ta có \( a^2 + 2 \). Với \( a = 1 \) ta có \( 1^2 + 2 = 3 \), không phải là chính phương. Với \( a \geq 2 \), giá trị này cũng sẽ không là số chính phương.

5. **Dựa vào tính chất của số chính phương**:
Giả sử \( a^2 + d = n^2 \). Điều này dẫn đến:
- \( (n - a)(n + a) = d \) đồng thời \( (n - a)(n + a) \) cũng chính là một ước của \( 2a^2 \) mà ta đã phân tích ở trên. Rồi cho thấy chúng cần phải thỏa mãn mối liên hệ về tính chia hết và tính chất số chính phương, từ đó dẫn đến một mâu thuẫn trong giá trị của \( n \).

6. **Kết luận**: Có nhiều trường hợp có thể được kiểm tra cho các giá trị khác nhau của \( d \) (khi là ước số của \( 2a^2 \)). Tuy nhiên, trong tất cả các trường hợp, tổng số chính phương đều dẫn đến không thể thỏa mãn tất cả điều kiện đã cho cho các giá trị của \( a \) và \( d \).

Chính vì vậy, ta hình thành được kết luận rằng \( a^2 + d \) không thể là số chính phương với điều kiện mà bài tự luận đã đặt ra.