Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một:

### a) Tính giá trị của biểu thức A tại \( x = 3 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{x + 2}{x - 2}
\]

Thay giá trị \( x = 3 \) vào biểu thức:

\[
A(3) = \frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5
\]

### b) Rút gọn biểu thức B

Biểu thức \( B \) là:

\[
B = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \cdot \frac{2}{x - 2}
\]

Ta có thể rút gọn \( B \):

1. Nhận thấy rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \), nên:

\[
B = \frac{x^2 + 4}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2}{x - 2}
\]

2. Rút gọn:

\[
B = \frac{2(x^2 + 4)}{(x - 2)^2(x + 2)}
\]

### c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức \( P = A \cdot B \) nhận giá trị nguyên

Biểu thức \( P \) là:

\[
P = A \cdot B = \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right) \cdot \left(\frac{2(x^2 + 4)}{(x - 2)(x + 2)}\right)
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
P = \frac{2(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2(x + 2)}
\]

Rút gọn:

\[
P = \frac{2(x^2 + 4)}{(x - 2)^2}
\]

Để \( P \) nhận giá trị nguyên, \( (x - 2)^2 \) phải chia hết cho \( 2(x^2 + 4) \).

Ta cần xét các giá trị nguyên \( x \):

- Khi \( x \) gần \( 2 \), ta tính thử với các giá trị nguyên x (như \( x = 0, 1, 3, 4, ...\)) và kiểm tra điều kiện để \( P \) thuộc tập số nguyên.

### Giá trị nguyên ví dụ:

- Với \( x = 0 \):
\[
P = \frac{2(0^2 + 4)}{(0 - 2)^2} = \frac{2 \cdot 4}{4} = 2 \text{ (nguyên)}
\]

- Với \( x = 3 \):
\[
P = \frac{2(3^2 + 4)}{(3 - 2)^2} = \frac{2(9 + 4)}{1} = 26 \text{ (nguyên)}
\]

- Cứ tiếp tục kiểm tra với các giá trị khác cho đến khi bạn tìm được tất cả các giá trị nguyên hợp lệ cho \( x \).