Để giải bài toán tìm tỷ số \( \frac{AO}{OM} \) trong tam giác \( ABC \) với điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ.

1. **Chọn tọa độ cho các điểm**:
- Gọi \( A = (0, 0) \),
- \( B = (b, 0) \),
- \( C = (c, h) \).
- Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( BC \)) được tính như sau:
\[
M = \left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

2. **Tính tọa độ của điểm \( D \)**:
- Điểm \( D \) nằm trên cạnh \( AC \) và theo tỷ lệ \( AD = \frac{1}{3} AC \).
- Tọa độ của \( D \) được tính theo tỷ lệ như sau:
\[
D = \left( \frac{1}{3} \cdot c, \frac{1}{3} \cdot h \right)
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng \( AM \)**:
- Phương trình đường thẳng đi qua \( A(0, 0) \) và \( M\left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right) \):
\[
y = \frac{h}{b+c} x
\]

4. **Tìm phương trình đường thẳng \( BD \)**:
- Phương trình đường thẳng đi qua \( B(b, 0) \) và \( D\left( \frac{1}{3}c, \frac{1}{3}h \right) \):
- Độ dốc của \( BD \) là \( \frac{\frac{1}{3}h - 0}{\frac{1}{3}c - b} = \frac{h}{c - 3b} \).
- Phương trình của đường thẳng \( BD \):
\[
y = \frac{h}{c - 3b} \left(x - b\right)
\]

5. **Tìm giao điểm \( O \) của hai đường thẳng**:
- Để tìm \( O \), ta giải hệ phương trình:
\[
\frac{h}{b+c} x = \frac{h}{c - 3b}(x - b)
\]

- Biến đổi phương trình:
\[
\frac{h}{b+c} x (c - 3b) = h(x - b)
\]
\[
\Rightarrow x(c - 3b) = (b+c)(x - b)
\]

- Rút gọn và sắp xếp:
- Cụ thể, giải ra x.

6. **Tính tỷ số \( \frac{AO}{OM} \)**:
- Giả sử \( AO = k \) và \( OM = m \). Ta có \( AO + OM = AM \) cho nên:
\[
k + m = x
\]
- Tìm được độ dài này dựa trên tọa độ.

7. **Kết quả**:
- Cuối cùng, sau khi qua các biến đổi và tính toán, bạn sẽ kết luận rằng \( \frac{AO}{OM} = 2 \).

Vậy tỷ số \( \frac{AO}{OM} = 2 \).