Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, CK cắt nhau tại H

Để chứng minh các phát biểu trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với các đường cao \( BE \) và \( CK \), cùng nhau cắt nhau tại \( H \), ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh rằng \( BE = CK \)

Do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \). Cả \( BE \) và \( CK \) đều cùng là đường cao từ các đỉnh \( B \) và \( C \) hạ xuống đường phân giác của \( A \) nên chúng sẽ có độ dài bằng nhau:

\[
BE = CK
\]

### b) Chứng minh rằng \( AH \) là phân giác góc \( A \)

Trong một tam giác cân, đường cao từ đỉnh đến đáy cũng là phân giác. Do đó, \( AH \) chính là phân giác của góc \( A \).

### c) Chứng minh rằng tam giác \( AEK \) cân và \( EK \parallel BC \)

- Điểm \( E \) là chân đường cao từ \( B \) đến \( AC \), điểm \( K \) là chân đường cao từ \( C \) đến \( AB \).
- Do \( AB = AC \) và \( AE = AK \) (cả hai đều là đường cao từ các đỉnh đối xứng), ta có tam giác \( AEK \) là tam giác cân.
- \( EK \) là đường nối hai chân đường cao và vuông góc với \( AC \) (bởi \( BE \) và \( CK \)). Do đó, \( EK \) cũng song song với \( BC \) (vì \( BC \) là đáy của tam giác cân).

### d) Gọi \( O \) là trung điểm của \( BC \). Trên tia đối của \( OE \), lấy \( M \) sao cho \( OE = OM \). Chứng minh rằng \( MC \) vuông góc với \( AC \) và \( A, O, H \) thẳng hàng.

1. **Chứng minh \( MC \) vuông góc với \( AC \)**:

- Bởi vì \( O \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) nằm trên \( AC \), điểm \( M \) nằm trên tia đối của \( OE \) sẽ vuông góc với \( AC \).

2. **Chứng minh \( A, O, H \) thẳng hàng**:

- Vì điểm \( H \) là giao điểm của các đường cao từ \( B \) và \( C \), và \( O \) là trung điểm của \( BC \), nên \( O \) sẽ nằm trên đường thẳng \( AH \) (đường phân giác) do tam giác cân.

Kết hợp các yếu tố trên, ta có thể kết luận rằng \( M \) nằm trên \( AC \) và \( A, O, H \) thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh các phần yêu cầu trong đề bài.