Để chứng minh hai phần trong bài toán liên quan đến tam giác cân \( ABC \) và các phân giác \( BD \) và \( CE \), ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh \( BD = CE \)

1. **Tam giác cân:** Ta đã có tam giác \( ABC \) cân tại đỉnh \( A \), tức là \( AB = AC \).

2. **Tính chất phân giác:** Theo định lý phân giác trong tam giác, tỉ số các cạnh bên đối diện với phân giác là tỉ lệ với các cạnh tam giác. Cụ thể:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1
\]
Từ đó, ta suy ra \( BD = DC \).

3. Tương tự với phân giác \( CE \):
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{AB} = 1
\]
Suy ra \( AE = EB \).

4. **Định nghĩa các đoạn:** Gọi \( BD = x \) và \( CE = y \). Từ bước trên, ta có:
- \( BD = DC = x \)
- \( AE = EB = y \)

5. **Tính tổng các đoạn:**
- \( BC = BD + DC = x + x = 2x \)
- \( AC = AE + EB = y + y = 2y \)

6. **So sánh:** Vì \( AC = AB \), nên ta có \( 2y = 2x \) hay \( y = x \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( BD = CE \).

### Phần b: Chứng minh \( BCDE \) là hình thang cân

1. **Định nghĩa hình thang cân:** Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên song song và có độ dài bằng nhau.

2. **Cạnh song song trong tam giác:** Vì \( BD \) và \( CE \) là hai phân giác của tam giác \( ABC \) nên theo quy tắc phân giác, các đoạn thẳng \( BD \) và \( CE \) sẽ cắt nhau tại một điểm.

3. Từ đó, ta xét tứ giác \( BCDE \):
- Ta đã chứng minh ở phần a rằng \( BD = CE \).
- Vì là phân giác trong tam giác cân, \( B \) và \( C \) nằm ở hai đáy của tam giác cân và \( D \) và \( E \) là những điểm nằm trên hai đáy.
- Theo định nghĩa về hình thang, ta có \( BC \parallel DE \) (cạnh bên song song).

4. **Duy trì tính chất:** Với việc đã chỉ ra rằng \( BD = CE \) và hai cạnh bên \( BC \) và \( DE \) song song, ta suy ra tứ giác \( BCDE \) chính là hình thang cân.

Do đó, ta đã chứng minh \( BCDE \) là hình thang cân.

### Kết luận
- \( BD = CE \)
- Tứ giác \( BCDE \) là hình thang cân.