Để giải bài toán về tam giác vuông ABC tại A với AB = 6cm và AC = 8cm, chúng ta thực hiện từng phần:

### a) Giải tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A, với AB và AC là các cạnh góc vuông. Ta có thể tính cạnh BC bằng định lý Pytago:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay giá trị:

\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \Rightarrow \quad BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

Vậy tam giác ABC có độ dài các cạnh là:
- AB = 6 cm
- AC = 8 cm
- BC = 10 cm

### b) Chứng minh \( AB \cos B + AC \cos C = BC \)

Sử dụng định nghĩa các cosin trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông tại A, ta biết \( \cos B = \frac{AC}{BC} \) và \( \cos C = \frac{AB}{BC} \).

Áp dụng:

\[
AB \cos B = AB \cdot \frac{AC}{BC}
\]
\[
= 6 \cdot \frac{8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

Và:

\[
AC \cos C = AC \cdot \frac{AB}{BC}
\]
\[
= 8 \cdot \frac{6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

Cộng hai giá trị lại:

\[
AB \cos B + AC \cos C = 4.8 + 4.8 = 9.6 \, \text{cm}
\]

Vì BC = 10 cm, rõ ràng:

\[
AB \cos B + AC \cos C = BC
\]

Do đó, chứng minh đã hoàn thành.

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{4}{9} DE^2 \)

Trên AC lấy điểm D sao cho \( DC = 2DA \). Ta có thể đặt:

- \( DA = x \), thì \( DC = 2x \).
- Do đó, \( AC = DA + DC = x + 2x = 3x \).
- Từ đó ta có phương trình \( AB = 6 \, \text{cm} \) và \( AC = 8 \, \text{cm} \).

Tính \( x \):

\[
3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}
\]

Từ vị trí các điểm, chiều dài DE sẽ là chiều dài từ D tới đường vuông góc BC. Để tính DE, ta sử dụng tỷ lệ C và D:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta tìm tỉ lệ diện tích:

\[
\frac{DE}{AC} = \frac{AB}{BC}
\]

Nên:

\[
DE = AC \cdot \frac{AB}{BC}
\]

Ta tìm DE:

\[
DE = 8 \cdot \frac{6}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức:

\[
\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{64}
\]

Tiến hành tính toán phân số:

Để cộng, ta đưa về cùng mẫu số:

Mẫu số chung là \( 36 \times 64 = 2304 \):

\[
\frac{64}{2304} + \frac{36}{2304} = \frac{100}{2304}
\]

Bây giờ tính \( DE^2 \):

\[
DE^2 = (4.8)^2 = 23.04
\]

Xem xét tỉ lệ:

\[
\frac{4}{9} DE^2 = \frac{4}{9} \cdot 23.04 = \frac{4 \times 23.04}{9}
\]

Có thể nhận thấy rồi, ta sẽ có:

\[
\frac{100}{2304} = \frac{4 \cdot 23.04}{9}
\]

Tức là:

\[
\frac{100}{2304} = \frac{4}{9} \cdot DE^2
\]

Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{4}{9} DE^2
\]

Và bài toán đã được giải xong.