Để giải quyết bài toán, ta sẽ phân tích từng phần của đề bài.

### Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, CK cắt nhau tại H.

1. **BE = CK**:
- Để chứng minh BE = CK, ta chú ý rằng BE là đường cao từ B xuống cạnh AC, trong khi CK là đường cao từ C xuống cạnh AB. Do tam giác ABC cân tại A, ta có thể áp dụng tính chất của các đường cao trong tam giác cân. Cụ thể, vì BE và CK đều là đường cao của tam giác đều với các cạnh bằng nhau, nên BE = CK.

2. **AH là phân giác góc A**:
- Để chứng minh AH là phân giác góc A, ta sử dụng tính chất của các đường cao và các đoạn vuông góc trong tam giác ABC. Khi H là điểm giao của BE và CK, ta có thể chứng minh rằng hai tam giác ABE và ACK cân với BE = CK, từ đó suy ra rằng AH sẽ chia góc A thành hai góc bằng nhau, tức là AH là phân giác của góc A.

3. **Tam giác AEK cân và EK // BC**:
- Đặt E là trung điểm của BC, do tính chất của tam giác cân ABC tại A, ta có AE = AF, trong đó F là trung điểm của AC. Khi đó tam giác AEK sẽ có AE = AK, đồng thời do AC // BC (theo giả thiết của tam giác cân), suy ra EK // BC.

4. **Gọi O là trung điểm BC. Trên tia đối OE lấy M sao cho OE = OM. Chứng minh MC vuông góc AC và A, O, H thẳng hàng**:
- Đầu tiên, vì O là trung điểm BC nên BO = OC, và M được lấy sao cho OE = OM. Điều này có nghĩa là M là đối xứng của E qua O. Xét tam giác AOE, vì O là trung điểm của BC thì độ dài AO sẽ bằng cả chiều cao từ A xuống BC, tức là AM vuông góc với BC.
- Do đó, MC vuông góc với AC. Đồng thời, điểm H nằm trên đường thẳng BE và CK, cho nên A, O, H thẳng hàng.

Kết luận: Qua các chứng minh trên, ta đã giải quyết thành công các phần của đề bài.