Để chứng minh rằng \(8p^2 - 1\) cũng là số nguyên tố khi \(p\) là số nguyên tố và thỏa mãn \(8p^2 + 1\) là số nguyên tố, ta sẽ bắt đầu với một số giả thiết và thực hiện một vài phân tích.

1. **Giả sử \(p\) là một số nguyên tố.**
2. **Cho \(8p^2 + 1\) là số nguyên tố.** Điều này có nghĩa là \(8p^2 + 1\) không chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào khác ngoài 1 và chính nó.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét biểu thức \(8p^2 - 1\).

3. **Biểu thức \(8p^2 - 1\)** có thể được viết lại thành dạng của hiệu thức bình phương:
\[
8p^2 - 1 = (2\sqrt{2}p - 1)(2\sqrt{2}p + 1)
\]
Đây là dạng phân tích của một hiệu hai bình phương, nhưng không trực tiếp giúp chúng ta trong việc xác định nguyên tố.

Thay vào đó, ta sẽ thực hiện một vài ví dụ cụ thể với các số nguyên tố nhỏ:

- **Khi \(p = 2\):**
\[
8 \cdot 2^2 - 1 = 8 \cdot 4 - 1 = 32 - 1 = 31 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 32 + 1 = 33 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(p = 3\):**
\[
8 \cdot 3^2 - 1 = 8 \cdot 9 - 1 = 72 - 1 = 71 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Ta quan sát thấy rằng khi \(p = 3\), cả hai \(8p^2 - 1\) và \(8p^2 + 1\) đều là số nguyên tố.

- **Khi \(p = 5\):**
\[
8 \cdot 5^2 - 1 = 8 \cdot 25 - 1 = 200 - 1 = 199 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8 \cdot 5^2 + 1 = 8 \cdot 25 + 1 = 200 + 1 = 201 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Tương tự cho những số nguyên tố khác, như \(7, 11, 13\) có thể được kiểm tra cẩn thận một cách tương tự.

Vì không tìm thấy được trường hợp chung cho tất cả các số nguyên tố \(p\) thỏa mãn điều kiện này, cho rằng hiệu \(8p^2 - 1\) không phải mọi lúc là số nguyên tố.

### Kết luận:
Bài toán yêu cầu chứng minh rằng \(8p^2 - 1\) luôn là số nguyên tố khi \(8p^2 + 1\) là nguyên tố không thể chứng minh một cách tổng quát cho tất cả các số nguyên tố \(p\) mà chúng ta cần kiểm tra từng trường hợp. Do đó, câu hỏi không thể được chứng minh cho tất cả các số nguyên tố mà chỉ thực hiện cho những trường hợp cụ thể như đã trình bày.