Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE CF

Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác AFEG là hình bình hành:

1. **Đặt định nghĩa**: Theo giả thiết, E là điểm trên trung tuyến BE và F là điểm trên trung tuyến CF.
2. **Tính chất song song**:
- Đường thẳng EF song song với AB.
- Đường thẳng AG song song với EF.
- Theo định nghĩa của hình bình hành, nếu hai cặp cạnh đối song song, thì tứ giác đó là hình bình hành.
3. **Chứng minh**:
- Vì \( EF \parallel AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AB \) (do \( BE \) là trung tuyến), nên \( A \) và \( F \) sẽ cách đều \( E \).
- Do \( AG \parallel EF \) và \( F \) là trung điểm của \( CF \) (do \( CF \) là trung tuyến), nên \( E \) và \( G \) cũng cách đều \( F \).
4. **Kết luận**: Từ các tính chất trên, ta suy ra rằng tứ giác AFEG có hai cặp cạnh đối song song, vậy AFEG là hình bình hành.

### b. Chứng minh các điểm D, E, G thẳng hàng và CG, AD thẳng hàng:

1. **Chứng minh D, E, G thẳng hàng**:
- Vì EF song song với AB và G nằm trên EF, nên \( \angle AEF = \angle EGB \) (cùng một bên trong).
- Do đó, với đường trung tuyến BE, ta có sự tương đồng giữa hai tam giác mà D là trung điểm, và xác định được rằng \( D, E, G \) cùng nằm trên một đường thẳng.

2. **Chứng minh CG, AD thẳng hàng**:
- Do D là trung điểm của BC và E là trung điểm của AB, ta có EF song song với AD (bởi vì EF là một đường kéo dài từ trung điểm).
- Khi G nằm trên đường EF, hợp với các đoạn thẳng AE (hay EF), suy ra từ định nghĩa đường trung tuyến và kính thiết thực rằng CG đồng hướng với AD, do đó CG và AD cũng cùng nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận:

- Từ các phân tích trên, ta có thể khẳng định:
- a. Tứ giác AFEG là hình bình hành.
- b. Các điểm D, E, G thẳng hàng và CG, AD cũng thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh thành công theo yêu cầu bài toán.