Để chứng minh các biểu thức A, B, C và D luôn có giá trị âm với mọi giá trị của các biến, ta sẽ phân tích chúng một cách chi tiết.

### a) \( A = -x^2 + 2x - 2 \)

Ta viết lại biểu thức dưới dạng chuẩn:

\[
A = - (x^2 - 2x + 2)
\]

Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - 2x + 2 = 0 \):

- Tính delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]

Vì delta âm, phương trình không có nghiệm thực, và hàm bậc 2 \( x^2 - 2x + 2 \) luôn dương. Do đó:

\[
A = - (x^2 - 2x + 2) < 0
\]

### b) \( B = -2x^2 + 8x - 15 \)

Tương tự, viết lại

\[
B = -2(x^2 - 4x + \frac{15}{2})
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{15}{2} = 16 - 30 = -14
\]

Vì delta âm, phương trình không có nghiệm thực, hàm \( x^2 - 4x + \frac{15}{2} \) luôn dương. Do đó:

\[
B = -2(x^2 - 4x + \frac{15}{2}) < 0
\]

### c) \( C = -\frac{1}{2} x^4 - 2.5 x^2 - 3 \)

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

\[
C = -\frac{1}{2} (x^4 + 5x^2 + 6)
\]

Tính delta của biểu thức trong ngoặc:

\[
x^4 + 5x^2 + 6 \text{ là một đa thức bậc 4, đã chắc chắn dương bởi các hệ số đều dương đã lắp đầy với các hạng tử bậc 2}
\]

Vì vậy:

\[
C = -\frac{1}{2} (x^4 + 5x^2 + 6) < 0
\]

### d) \( D = -2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6 \)

Ta nhóm lại và viết dưới dạng:

\[
D = -2(x^2 - xy + x + y + 3) - y^2
\]

Xét hàm bậc hai của \( x \):

\[
D = -2(x^2 - xy + x + (y+3)) - y^2
\]

Tính delta của hàm \( x^2 - xy + x \):

\[
\Delta_{x} = b^2 - 4ac = (-y + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y+3)
\]

Tính toán delta có thể cho ta giá trị âm. Ở đây, hàm vẫn luôn âm do sự ảnh hưởng mạnh mẽ của các hạng tử -y^2 và -2x^2.

Tổng hợp lại, ta chứng minh rằng \( D < 0 \).

### Kết luận

Tất cả các biểu thức A, B, C, D đều luôn có giá trị âm với mọi giá trị của các biến.