Để giải các bài toán liên quan đến tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác, chúng ta có thể sử dụng một số điểm đặc biệt và tính chất của trọng tâm, trung điểm, hay đương nhiên là cũng có thể áp dụng Định lý Ceva, Định lý Menelaus và một số phương pháp khác trong hình học.

### a) Tối thiểu hóa tổng \( \frac{AM}{A_1M} + \frac{BM}{B_1M} + \frac{CM}{C_1M} \)

Tổng này đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm \( M \) là trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \). Khi \( M \) là trọng tâm, ta có:

\[
\frac{AM}{A_1M} + \frac{BM}{B_1M} + \frac{CM}{C_1M} = 1 + 1 + 1 = 3
\]

### b) Tối thiểu hóa tích \( \left( \frac{AM}{A_1M} \right) \left( \frac{BM}{B_1M} \right) \left( \frac{CM}{C_1M} \right) \)

Tương tự, tích này đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 1) khi điểm \( M \) là trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \).

### c) Tối thiểu hóa tổng \( \frac{A_1M}{AM} + \frac{B_1M}{BM} + \frac{C_1M}{CM} \)

Tổng này đạt giá trị nhỏ nhất khi \( M \) là trọng tâm \( G \). Khi đó:

\[
\frac{A_1M}{AM} + \frac{B_1M}{BM} + \frac{C_1M}{CM} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3
\]

### d) Tối đa hóa tích \( \left( \frac{A_1M}{AM} \right) \left( \frac{B_1M}{BM} \right) \left( \frac{C_1M}{CM} \right) \)

Tích này sẽ đạt giá trị lớn nhất (có thể bằng 1 tùy thuộc vào tỷ lệ) khi các điểm \( A_1, B_1, C_1 \) là các điểm chia đoạn của các cạnh tam giác theo tỉ lệ 1:1, tức là khi \( M \) nằm ở trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \).

### e) Tối thiểu hóa tổng \( \sqrt{\frac{AM}{A_1M}} + \sqrt{\frac{BM}{B_1M}} + \sqrt{\frac{CM}{C_1M}} \)

Tổng này sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( M \) là trọng tâm \( G \). Điều này thực hiện được theo nguyên lý tương tự như các phần trên.

### Kết luận:

Điểm \( M \) để tối ưu hóa các biểu thức như trên đều là **trọng tâm** \( G \) của tam giác \( ABC \).