Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

Theo giả thiết, ta có các số đo góc như sau:

- \( \angle ADE = 55^\circ \)
- \( \angle ECB = 35^\circ \)
- \( \angle DEC = 90^\circ \)

Xét tam giác \( CDE \):

- Tổng các góc trong tam giác \( CDE \) là \( 180^\circ \):
\[
\angle CDE + \angle DEC + \angle ECB = 180^\circ
\]
Thay các giá trị vào, ta được:
\[
\angle CDE + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ
\]
Tính ra:
\[
\angle CDE = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ
\]

Vì \( \angle ADE = 55^\circ \) và \( \angle CDE = 55^\circ \), nên ta có:
\[
\angle ADE = \angle CDE
\]
Do đó, theo định lý góc đồng vị, ta có thể kết luận rằng:
\[
a \parallel b
\]

### b) Tính số đo góc B

Ta đã tìm được góc \( CDE \) là \( 55^\circ \). Do \( a \perp AB \), chúng ta có:
\[
\angle ABE = 90^\circ
\]

Trong tam giác \( ABE \), tổng các góc là \( 180^\circ \):
\[
\angle ABE + \angle ABC + \angle BAE = 180^\circ
\]

Biết rằng:
\[
\angle ABE = 90^\circ, \quad \angle BAE = 55^\circ
\]
Thay vào công thức:
\[
90^\circ + \angle ABC + 55^\circ = 180^\circ
\]

Tính ra:
\[
\angle ABC = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ
\]

Vậy số đo góc \( B \) là:
\[
\angle B = 35^\circ
\]

### Kết luận
- a) \( a \parallel b \)
- b) \( \angle B = 35^\circ \)