Để giải phương trình \( |x + 3| + |x + 5| + |x + 7| = 10x \), ta cần xem xét ba khoảng của \( x \) để loại bỏ hàm giá trị tuyệt đối:

1. **Khoảng 1: \( x < -7 \)**

Trong khoảng này, ta có:
\[
|x + 3| = - (x + 3), \quad |x + 5| = - (x + 5), \quad |x + 7| = - (x + 7)
\]
Phương trình trở thành:
\[
-(x + 3) - (x + 5) - (x + 7) = 10x
\]
Sắp xếp lại:
\[
-3x - 15 = 10x \quad \Rightarrow \quad -15 = 13x \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{15}{13}
\]
\( -\frac{15}{13} \) không nằm trong khoảng \( x < -7 \).

2. **Khoảng 2: \( -7 \leq x < -5 \)**

Trong khoảng này, ta có:
\[
|x + 3| = - (x + 3), \quad |x + 5| = - (x + 5), \quad |x + 7| = x + 7
\]
Phương trình trở thành:
\[
-(x + 3) - (x + 5) + (x + 7) = 10x
\]
Sắp xếp lại:
\[
-x - 1 = 10x \quad \Rightarrow \quad -1 = 11x \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{11}
\]
\( -\frac{1}{11} \) không nằm trong khoảng \( -7 \leq x < -5 \).

3. **Khoảng 3: \( -5 \leq x < -3 \)**

Trong khoảng này, ta có:
\[
|x + 3| = - (x + 3), \quad |x + 5| = x + 5, \quad |x + 7| = x + 7
\]
Phương trình trở thành:
\[
-(x + 3) + (x + 5) + (x + 7) = 10x
\]
Sắp xếp lại:
\[
x + 9 = 10x \quad \Rightarrow \quad 9 = 9x \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
\( 1 \) không nằm trong khoảng \( -5 \leq x < -3 \).

4. **Khoảng 4: \( -3 \leq x < \infty \)**

Trong khoảng này, ta có:
\[
|x + 3| = x + 3, \quad |x + 5| = x + 5, \quad |x + 7| = x + 7
\]
Phương trình trở thành:
\[
(x + 3) + (x + 5) + (x + 7) = 10x
\]
Sắp xếp lại:
\[
3x + 15 = 10x \quad \Rightarrow \quad 15 = 7x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15}{7}
\]
\( \frac{15}{7} \) nằm trong khoảng \( -3 \leq x < \infty \).

**Tổng kết:** Phương trình có nghiệm duy nhất là:

\[
x = \frac{15}{7}
\]