Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức:

\[
a^2 + \frac{b^2}{4} \geq ab
\]

cho mọi \( a, b \).

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + \frac{b^2}{4})(1 + 1) \geq (a + \frac{b}{2})^2
\]

### Bước 2: Đặt điều kiện

Gọi \( x = a \) và \( y = \frac{b}{2} \), bất đẳng thức trên trở thành:

\[
(a^2 + \frac{b^2}{4}) \cdot 2 \geq (a + \frac{b}{2})^2
\]

### Bước 3: Kết luận

Ta cần chứng minh rằng:

\[
a^2 + \frac{b^2}{4} \geq ab
\]

Điều này có thể đạt được bằng cách sắp xếp lại để có một biểu thức không âm:

\[
a^2 - ab + \frac{b^2}{4} \geq 0
\]

### Bước 4: Xét biểu thức

Xét phương trình \( a^2 - ab + \frac{b^2}{4} \):

Đây là một bậc hai theo \( a \) với hệ số \( 1 \) dương, nên nghiệm của phương trình luôn không âm:

- Ddelta = \( b^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{b^2}{4} = b^2 - b^2 = 0 \)

Phương trình có nghiệm kép, do đó:

\[
a^2 - ab + \frac{b^2}{4} = 0 \implies a = \frac{b}{2}
\]

### Kết Luận

Do đó, bất đẳng thức \( a^2 + \frac{b^2}{4} \geq ab \) luôn đúng với mọi giá trị của \( a \) và \( b \).