Để chứng minh các biểu thức đã cho với mọi số nguyên \( n \), ta thường sẽ khai thác tính chẵn lẻ hoặc sử dụng một vài phương pháp giải tích. Dưới đây là hướng giải cho từng mục:

### a) \( n^3 + 3n^2 + 2n : 6 \)

Xét biểu thức:

\[
n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2)
\]

Ba số liên tiếp \( n, n+1, n+2 \) luôn có ít nhất một số chia hết cho 2 (chẵn) và một số chia hết cho 3. Do đó, \( n(n+1)(n+2) \) luôn chia hết cho 6.

### b) \( n^3 + 6n^2 + 8n : 48 \) với \( n \) chẵn

Chia biểu thức này cho 48:

\[
n^3 + 6n^2 + 8n = n(n^2 + 6n + 8)
\]
Với \( n = 2k \) (với \( k \) là số nguyên), ta có:

\[
2k(4k^2 + 12k + 8) = 2k \cdot 4(k^2 + 3k + 2) = 8k(k^2 + 3k + 2)
\]

Do \( k(k^2 + 3k + 2) \) là số nguyên, nên \( 8k(k^2 + 3k + 2) \) chia hết cho 48.

### c) \( (n^2 + n - 1)^2 - 1 : 24 \)

Đặt \( m = n^2 + n - 1 \), ta có:

\[
m^2 - 1 = (m-1)(m+1)
\]

Với \( m = n^2 + n - 1 \), \( m-1 = n^2 + n - 2 \) và \( m+1 = n^2 + n \). Cả hai giá trị này luôn có một trong hai số chẵn, và một trong hai số chia hết cho 3, do đó tích \( (m-1)(m+1) \) chia hết cho 6, và nhân với \( 4 \) thì chia hết cho 24.

### d) \( n^4 - 10n^2 + 9: 384 \) với \( n \) lẻ

Nếu \( n \) là số lẻ \( n = 2k + 1 \), ta có:

\[
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
\]

Do đó:

\[
n^4 - 10n^2 + 9 = (4k^2 + 4k + 1)^2 - 10(4k^2 + 4k + 1) + 9
\]

Ta triển khai và sau đó kiểm tra tính chia hết cho 384. Sử dụng tính chẵn lẻ sẽ giúp ta phân tích hiệu quả hơn.

Tóm lại, các biểu thức đều được chứng minh chia hết cho các ước số như đã chỉ ra.