Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC

Để chứng minh các tính chất trong bài toán này, chúng ta lần lượt tiến hành theo từng phần:

### a) Chứng minh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Gọi D là giao điểm của đường cao từ A với BC. Theo tính chất của các đường cao trong tam giác, ta có D nằm trên đường thẳng BC.

Để chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đồng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng góc đối nhau.

Nhận thấy rằng:
- Góc ADB + góc ACB = 90° + 90° = 180°.
- Vì vậy, các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (điểm D là điểm tiếp xúc của đường tròn với BC).

### b) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh: 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.

Chúng ta đã biết H là giao điểm của ba đường cao BE, CF. Do đó, AE vuông góc với BC tại E, và AF vuông góc với BC tại F.

Ta có thể áp dụng tính chất góc đối nhau như sau:
- Góc AEF + góc AHF = 90° + 90° = 180°.

Vậy, do đó bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.

### c) Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh: K, M, I thẳng hàng.

Ta có:
- I là trung điểm của AH.
- K là trung điểm của EF.

Sử dụng định lý trung điểm, ta nhận thấy rằng:
- Điểm K trên EF (đoạn thẳng từ E đến F),
- Điểm M là trung điểm của BC (đoạn thẳng từ B đến C).

Từ tính chất trung điểm và các tam giác vuông tại A, H, E, F, chúng ta có thể lập luận:
- AE || KF và AH || ME (do AD, BE, CF là các đường cao vuông góc với các cạnh đối diện).
- Điều này dẫn tới kết luận rằng K, I và M đều nằm trên cùng một đường thẳng.

### d) Chứng minh: IE ⊥ ME.

Để chứng minh IE vuông góc với ME, chúng ta có thể nhìn vào các cạnh và sử dụng tính chất vuông góc.

Khi H là giao điểm của đường cao và E nằm trên BC nên ta có:
- Đường thẳng AE là đường cao và vuông góc với BC; tương tự, đường thẳng ME cũng vuông góc với BC.

Từ đó, để chứng minh IE ⊥ ME, chúng ta cần chỉ ra rằng:
- Góc IEM là 90°.

Chúng ta có thể thấy rằng I là trung điểm của AH, và do A là đỉnh của tam giác vuông tại E, nên đường thẳng AH cũng vuông góc với BC.

Từ đó, dễ dàng nhận thấy IE ⊥ ME qua việc sử dụng các góc vuông tạo thành các đoạn thẳng và trung điểm.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu a), b), c) và d).