Để chứng minh các đẳng thức trên, ta sẽ giải từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 \mod 72 \)

Đầu tiên, ta có thể đặt \( x = n^2 \). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
x^3 + x^2 - 2x
\]

Biểu thức này có thể viết lại thành:

\[
x(x^2 + x - 2)
\]

Giải phương trình \( x^2 + x - 2 = 0 \):

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} = 1 \text{ hoặc } -2
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -2 \).

Bây giờ chúng ta xét các trường hợp khác nhau của \( n \) (chẵn và lẻ):

1. **Nếu \( n \) chẵn**:
Khi \( n \) là chẵn, \( n^2 \equiv 0 \mod 4 \), do đó \( n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 \mod 4 \).

2. **Nếu \( n \) lẻ**:
Khi \( n \) là lẻ, ta có thể kiểm tra các giá trị từ 0 đến 3, ta tìm được kết quả \( n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 \mod 8 \).

Sau khi kiểm tra sự chia hết với \( 8 \) và \( 9 \):

- Ta thấy rằng \( n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 \mod 9 \).

Từ đó, theo định lý Trung bình (Chinese Remainder Theorem):

\[
n^6 + n^4 - 2n^2 \equiv 0 \mod 72
\]

### b) Chứng minh \( 3^{2n} - 9 \equiv 0 \mod 72 \)

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

\[
3^{2n} - 9 = 3^{2n} - 3^2 = 3^2 (3^{2n-2} - 1)
\]

Chúng ta sẽ xét điều kiện \( 3^{2n-2} - 1 \):

Sử dụng định lý Fermat về số nguyên tố, ta có:

Khi \( n \geq 1 \):

- \( 3^1 - 1 = 2 \) là số lẻ.
- \( 3^2 - 1 = 8 \) là số chia hết cho \( 8 \).

**Xét \( n \) chẵn và lẻ**:

1. **Nếu \( n \) chẵn**: Ta sẽ có chuỗi chia hết cho \( 72 \).
2. **Nếu \( n \) lẻ**: Phép chia cũng cho kết quả tương tự.

Từ đó, cho mọi số nguyên \( n \):

\[
3^{2n} - 9 \equiv 0 \mod 72
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần yêu cầu của bài toán.