Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( (A; 13 \text{cm}) \) cắt đường thẳng \( xy \) tại hai điểm phân biệt

1. **Tạo đường thẳng**: Đầu tiên, bạn vẽ đường thẳng \( xy \).
2. **Đặt điểm A**: Đặt điểm A cách đường thẳng \( xy \) một khoảng 12 cm.
3. **Vẽ đường tròn**: Từ điểm A, vẽ một đường tròn có bán kính \( 13 \text{cm} \).
4. **Tìm điểm giao**: Đường tròn này sẽ giao với đường thẳng \( xy \) tại hai điểm, vì khoảng cách từ A (12 cm) tới đường thẳng là nhỏ hơn bán kính đường tròn (13 cm).
5. **Kết luận**: Do đó, điểm A cắt đường thẳng \( xy \) tại hai điểm phân biệt.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng BC

1. **Kí hiệu**: Gọi hai điểm giao của đường tròn và đường thẳng \( xy \) lần lượt là \( B \) và \( C \).
2. **Tạo tam giác**: Xét tam giác \( ABC \), với A là đỉnh, B và C là điểm giao.
3. **Sử dụng định lý Pytago**: Trong tam giác vuông \( AOB \) (O là hình chiếu của A xuống đường thẳng \( xy \)), có:
- OA = 12 cm (độ cao từ A đến xy)
- AB = 13 cm (bán kính)
- Tính đoạn OB bằng công thức Pytago:
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2 \implies 13^2 = 12^2 + OB^2
\]
\[
169 = 144 + OB^2 \implies OB^2 = 25 \implies OB = 5 \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài BC**: Đoạn BC là đường kính đường tròn, nên:
\[
BC = OB \times 2 = 5 \times 2 = 10 \text{ cm}
\]

### Kết quả
- Đoạn thẳng \( BC \) có độ dài là \( 10 \text{ cm} \).