Gọi \( AB \) là số có 2 chữ số, trong đó \( A \) là chữ số hàng chục và \( B \) là chữ số hàng đơn vị. Số \( AB \) có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[
AB = 10A + B
\]

Khi đổi vị trí chữ số, ta có số \( BA \), được biểu diễn như sau:

\[
BA = 10B + A
\]

Theo đề bài, khi đổi vị trí các chữ số thì số đó tăng thêm 45 đơn vị, tức là:

\[
10B + A = 10A + B + 45
\]

Giải phương trình này:

\[
10B + A - B - 10A = 45
\]
\[
9B - 9A = 45
\]
\[
B - A = 5
\]

Ta có:

\[
B = A + 5
\]

Tiếp theo, vì số \( AB \) phải chia hết cho 4, nên \( 10A + B \) chia hết cho 4. Vậy ta thử điều kiện này bằng cách thay \( B \) vào:

\[
B = A + 5 \Rightarrow 10A + B = 10A + (A + 5) = 11A + 5
\]

Vậy chúng ta cần kiểm tra điều kiện:

\[
11A + 5 \text{ chia hết cho } 4
\]

Tính \( 11A + 5 \mod 4 \):

\[
11A \mod 4 \equiv 3A \mod 4
\]
\[
5 \mod 4 \equiv 1
\]
\[
11A + 5 \mod 4 \equiv 3A + 1 \mod 4
\]

Ta cần \( 3A + 1 \equiv 0 \mod 4 \), tức là:

\[
3A \equiv -1 \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow A \equiv 1 \mod 4
\]

Vì vậy, \( A \) có thể nhận các giá trị: 1, 5, 9 (vì \( A \) là chữ số hàng chục nên \( A \) chỉ có thể từ 1 đến 9).

- Nếu \( A = 1 \) thì \( B = 6 \), số là 16 (chia hết cho 4).
- Nếu \( A = 5 \) thì \( B = 10 \) (không phải chữ số nên không hợp lệ).
- Nếu \( A = 9 \) thì \( B = 14 \) (cũng không phải chữ số).

Vậy chỉ có cặp hợp lệ là \( A = 1, B = 6 \).

Cuối cùng, tổng \( A + B \) là:

\[
A + B = 1 + 6 = 7
\]

Do đó, tổng của \( A \) và \( B \) là \( \boxed{7} \).