Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, chúng ta có:

- \( AC = 44 \) cm
- \( BC = 55 \) cm

Chúng ta sẽ tính \( AB \), \( AH \), \( BH \), và \( CH \).

### 1. Tính cạnh \( AB \):
Theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
\[
AB^2 = 44^2 + 55^2
\]
\[
AB^2 = 1936 + 3025 = 4961
\]
\[
AB = \sqrt{4961} \approx 70.4 \text{ cm}
\]

### 2. Tính cao \( AH \):
Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính theo hai cách:
- Qua cạnh đáy \( AC \):
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 44 \times BH
\]
- Qua cạnh đáy \( BC \):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 55 \times AH
\]

Cả hai công thức này cho ra cùng một diện tích \( S \), do đó có thể đặt chúng bằng nhau để tìm \( AH \):
\[
\frac{1}{2} \times 44 \times BH = \frac{1}{2} \times 55 \times AH
\]

Giả sử \( AH = h \) và \( BH = b \).
Vì \( BH + CH = AC \), ta có:
\[
b + CH = 44 \implies CH = 44 - b
\]

Áp dụng định lý Pythagore trong \( \triangle ABH \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
(70.4)^2 = h^2 + b^2
\]

### 3. Tính \( BH \) và \( CH \):
Từ hàm diện tích và \( BH\):
Ta sẽ có:
\[
S = \frac{1}{2} \times 44 \times b
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times 55 \times h
\]

Trong bài toán này, cần thiết phải giải hệ phương trình này để tìm ra các trị số cụ thể cho \( AH \), \( BH \), và \( CH \).

### Kết luận:
1. \( AB \approx 70.4 \text{ cm} \)
2. Cần điều chỉnh và tính toán thêm để tìm \( AH \), \( BH \), và \( CH \).

Nếu cần các giá trị cụ thể cho \( AH \), \( BH \), và \( CH \), bạn có thể diễn ra các bước giải hệ phương trình này.