Để giải bài toán về hình thang ABCD với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng phần a, b và c như sau:

**a) Chứng minh \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}\)**

1. **Sử dụng tính chất hình thang:** Vì \(AB \parallel CD\), ta biết rằng hai cặp góc so le trong (góc \(AIB\) và góc \(DIO\), góc \(OAI\) và góc \(KDC\)) bằng nhau.
2. **Áp dụng Định lý Thales:** Do \(IK \parallel CD\), ta có \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}\).

**b) Chứng minh \(\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}\)**

1. **Tiếp tục sử dụng tính chất hình thang:** Tương tự như phần a, từ việc \(IK \parallel CD\), ta có các góc \(BKO\) và \(CKD\) cũng bằng nhau.
2. **Áp dụng Định lý Thales lần nữa:** Do đó, ta có \(\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}\).

**c) Chứng minh \(AI \cdot KC = ID \cdot BK\)**

1. **Sử dụng công thức tỉ lệ đã chứng minh trước đó:** Từ hai tỉ lệ ở trên, ta biết rằng \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}\) và \(\frac{BK}{KC} = \frac{AO}{OC}\).
2. **Từ những tỉ lệ này, nhân chéo hai tỉ lệ:**
\[
AI \cdot KC = ID \cdot BK
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán. Mong rằng hướng dẫn này giúp ích cho các bạn trong việc làm bài tập!